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Supposto allora A a coefficienti reali, consegue dalla (2): 



^ \ l 2 X l -f- li~X % = A^2 • 



Dalle quali equazioni si trae (il segno x indicando prodotto scalare): 

 (4) Ai(x:i + ali) = ^ X A^i + A^ 2 . 



Mediante una trasformazione ortogonale sopra i complessi x determinabile 

 in modo unico, riduciamo le forme quadratiche: 



Xi X a^i al 2 X A^ 2 



alle loro forme Canoniche. 1 coefficienti di queste forme sono allora come 

 è ben noto le radici dell'equazione secolare: 



(5) 



A+ A' 



a 



= 0, 



nella quale A' è la sostituzione coniugata ( x ) di A • 

 L'equazione (4) diviene con ciò : 



(6) A, I [.vF + yfl = I + vf* 



i=l 



nella quale le yi« , yg> indicano gli elementi dei complessi trasformati dei 

 complessi x x , x 2 . 



Dalla (6) consegue poi facilmente che A, è, qualunque siano le yi° , 

 yjp, compreso tra la massima e la minima delle quantità a i5 ossia tra la 

 maggiore e la minore delle radici (tutte reali) dell'equazione (5). È questo 

 il teorema del sig. Beudixon. 



L'estensione di questo teorema alle equazioni integrali si fa ora facil- 

 mente tenendo presente un risultato del sig. Schmidt relativo allo sviluppo 

 in serie di un nucleo simmetrico. 



Consideriamo l'equazione integrale: 



Afix) = f 9>ia: , y) fiy) dy 



Il termine sostituzione contraria usato nella Nota citata, pag. 13, è qui stato 

 cambiato in sostituzione coniugata per seguire la terminologia più comunemente usata. 

 Cfr. G. Burali-Forti e R. .Marcolongo, Omografie vettoriali con applicazioni alle derivate 

 rispetto ad un punto e alla fisica mat., Torino, 1909. 



