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Matematica. — Sulle superficie razionali reali. Nota di An- 

 nibale Comessatti, presentata dal Corrisp. F. Severi. 



In questa Nota espongo i risultati di alcune mie ricerche sulle super- 

 ficie razionali reali. Essi riguardano in principal modo la classificazione di 

 queste superficie fatta dal punto di vista delle trasformazioni birazionali 

 reali, il numero delle falde, e la relazione fra questo numero e un invariante 

 della superficie ('). 



Chiamo, secondo l'uso, reale, una superficie algebrica di un S r le cui 

 equazioni siano a coefficienti reali. Se questa superrìcie è anche razionale, 

 le coordinate de' suoi punti sono, com'è noto, esprimibili in funzioni razio- 

 nali di due parametri, e ciò si può fare in infiniti modi. Tuttavia è facile 

 convincersi, anche su esempi assai semplici, che la realità della superficie 

 non porta necessariamente di conseguenza la realità nei coefficienti delle 

 funzioni razionali suddette; in altre parole che la rappresentazione piana 

 della superficie non si può sempre eseguire in maniera reale. Se si chiama 

 reale una trasformazione fra due superficie F , F ' la quale abbia equazioni 

 a coefficienti reali, ciò equivale a dire che fra una superficie razionale reale 

 ed un piano reale non si può sempre stabilire una trasformazione birazio- 

 nale reale. 



Anzi si può dir subito che tale possibilità è senz'altro esclusa per le 

 superficie con più di una falda; attesoché un carattere delle trasformazioni 

 reali è quello di non alterare il numero delle falde (intese in senso proiet- 

 tivo) di una superficie. Poiché, come si vedrà, le superficie razionali reali 

 possono avere un numero qualunque, anche nullo ( 2 ), di falde, questo numero 

 si presenterà come un invariante rispetto alle trasformazioni birazionali reali. 



Un primo criterio, assai importante, che serve di guida alla classifica- 

 zione, è fornito dalla considerazione dei sistemi lineari reali ( 3 ) a cui si 

 arriva sopra una delle nostre superfìcie mediante il procedimento di succes- 

 siva aggiunzione applicato a partire da un sistema lineare reale in condi- 

 zioni generiche. Usando del teorema di Castelnuovo ( 4 ) relativo ai sistemi 



(') I procedimenti dimostrativi saranno sviluppati completamente in ima Memoria 

 di prossima pubblicazione. 



( 2 ) Basta pensare alla sfera (comunemente detta imaginarià), -f- y 2 + z 2 -j- 1 — 0. 



( 3 ) Il significato, del resto oyvìo, che ha in questo caso l'appellativo reale, si vedrà 

 meglio in seguito. 



(*) Appendice alla Memoria di Enriques, Sui piani doppi di genere 1 [^Memorie 

 della Società Italiana delle Scienze (detta dei XL), 1896]. L'enunciato è al n. 7 della 

 Memoria. 



Rendiconti, 1911, Voi. XX, 2° Sem. 79 



