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lineari che sou deducibili, nel piano, per successiva aggiunzione, da un si- 

 stema lineare generico, si perviene, con qualche elaborazione, al seguente 

 teorema : 



Sopra una superficie razionale reale, esiste sempre qualche sistema 

 lineare reale appartenente all'uno o all'altro dei seguenti tipi: 

 a) Fascio di curve razionali; 



/?) Relè di grado 2 di curve ellittiche (riferibile alla rete delle 

 cubiche piane per 7 punti base); 



)') Sistema oo 3 di grado 4 e genere 2 (riferibile al sistema delle 

 sestiche piane per 8 punti base doppi). 



Non è però escluso che una delle nostre superfìcie non possa contenere 

 sistemi di due o anche di tutti e tre i tipi ; tuttavia, per varie ragioni, di 

 cui alcune si vedranno in seguito, torna opportuno stabilire subito una di- 

 stinzione delle superficie stesse in tre famiglie, seguendo in certo modo 

 l'ordine di complessità dei sistemi lineari appartenenti ai tipi suddetti. La 

 distinzione si eseguirà ponendo in una I a famiglia tutte le superficie che 

 contengono .qualche sistema a); in una II a tutte quelle che non contengono 

 sistemi a), ma contengono invece qualche sistema /$) ; infine in una III a fa- 

 miglia quelle su cui non esistono che sistemi y) ('). Sopra una data super- 

 ficie F si chiamerà caratteristico uno qualunque fra i sistemi lineari appar- 

 tenenti a quello fra i tipi suddetti dalla cui esistenza dipende, per F, la 

 proprietà di appartenere ad una delle predette famiglie. Così per le super- 

 ficie della I a famiglia saranno caratteristici i sistemi a), per la Il a i si- 

 stemi /?), ecc. 



È ovvio che la distinzione in tre famiglie ha valore di fronte alle tras- 

 formazioni birazionali reali, attesoché esse mutano sistemi lineari reali in 

 sistemi lineari pure reali. 



Fatto questo primo passo, riesce più agevole l'uso d'una seconda con- 

 siderazione, veramente fondamentale per tutto ciò che riguarda lo studio 

 degli enti algebrici reali (punti, curve, sistemi lineari, ecc.) d'una superficie 

 razionale reale. La realità di questi enti è caratterizzata dalla proprietà di 

 esser mutati in se stessi dalla trasformazione di coniugio della superficie, 

 la quale è ivi subordinata dalla trasformazione di coniugio dello S r ambiente. 

 Quando si passa dalla superficie alla sua rappresentazione piana, la trasfor- 

 mazione di coniugio si rispecchia in una trasformazione involutoria del piano 

 le cui equazioni si scrivono ponendo le coordinate di un punto eguali a fun- 

 zioni razionali invertibili dei valori complessi coniugati di quelli delle coor- 

 dinate del punto corrispondente. Risulta subito da ciò, che queste trasforma- 

 zioni sono prodotti di trasformazioni birazionali per il coniugio (del piano) : 

 esse si possono dunque denominare trasformazioni antibir azionali, esteri 1 



(') Questa distinzione presenta qualche analogia con quella stabilita da Enriques 

 nella Memoria: Sulle irrazionalità aritmetiche ecc. Math. Annalen, Bd. 49, n. 6. 



