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dendo così il concetto e la denominazione di anliproiettività introdotti dal 

 Segre. 



Una superficie razionale reale è rappresentabile sopra un piano reale n 

 in infiniti modi; ognuno di essi dà luogo aduna trasformazione antibirazio- 

 nale involutoria che si dirà collegata alla rappresentazione piana che si 

 considera. Tuttavia due trasformazioni T , T' relative a due superficie F , F' 

 birazionalmente identiche dal punto di vista reale (e quindi eventualmente 

 relative alla stessa superficie) sono riducibili una all'altra per trasformazioni 

 birazionali del piano, cioè, con locuzione abbreviata, son simili; e recipro- 

 camente se T , T' son simili, due qualunque superfìcie F , F' di cui le T , T' 

 rappresentino il coniugio ( J ), sono identiche per trasformazioni birazionali 

 reali. 



Questa osservazione mostra come il problema di classificare le superfìcie 

 razionali reali in relazione alle trasformazioni birazionali reali, equivalga a 

 quello di classificare le trasformazioni antibirazionali involutorie rispetto alla 

 similitudine. Tenendo conto del fatto che queste trasformazioni lasciano unito 

 uno dei sistemi «),/?), y), si arriva al seguente teorema: 



Le trasformazioni antibirazionali involutorie del piano, son riduci- 

 bili, per trasformazioni quadratiche, ai seguenti tipi, irriducibili fra 

 loro e dotati del minimo numero di punti fondamentali: 



a) Coniugio; 



b) Trasformazioni antiquadratiche prive di elementi uniti; 



c) Trasformazioni d'ordine (w>l) con un punto fonda- 

 mentale m-plo 0, e 2m punti fondamentali semplici P ; (i = 1 , ... , 2m) , 

 distinti fra loro o infinitamente vicini ad 0 in direzioni distinte e aventi 

 come rette fondamentali omologhe le rette pi = OP; ; 



d) Trasformazioni di 8° ordine con 7 punti tripli P* {% — 1 , ... , 7), 

 aventi ordinatamente per omologhe le cubiche K f (K x = (P?P 2 ... P 7 ) ); 



e) Trasformazioni di 17° ordine con 8 punti sestupli P» (i = 1 , 

 ... , 8) , aventi ordinatamente per omologhe le sestiche K t (Ki = (P? Pf ... P|) ). 



La classificazione stabilita da questo teorema ha molte analogie con 

 quella relativa alle trasformazioni birazionali involutorie che deriva dalle 

 ricerche di Bertini, S. Kantor, Castelnuovo, Wiman; ma offre anche alcune 

 singolari differenze, suscettibili di interessanti interpretazioni. Notiamo fra 

 queste il caso b) che non si presenta per le trasformazioni quadratiche in- 

 volutorie le quali son tutte riducibili all'omologia armonica ( 2 j ; e i casi d), e) 



( J ) Data ad arbitrio una T involutoria si può sempre costruire una F di cui T rap- 

 presenti il coniugio. 



( 3 ) Bertini, Sopra una classe di trasformazioni univoche involutorie [Annali di 

 Matemntica, serie II, T. VII (1877) pp. 11-23] n. 4, pag. lì- n . 15, pag. 19. 

 ( 3 ) Con una proiettività imaginaria o identica. 



