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nei quali l'esistenza delle trasformazioni richiede, a differenza di quanto suc- 

 cede per le analoghe trasformazioni birazionali, particolari legami fra i punti 

 fondamentali. Affinchè un gruppo di 7 (o risp. 8) punti possa dar origine 

 ad una trasformazione d) [o e)], è necessario e sufficiente che esista un'anti- 

 proiettività involutoria in cui quei punti siano uniti, cioè che quel gruppo 

 sia trasformabile proiettivamente ( l ) in un gruppo di punti reali. 



Tutte le superficie con una falda danno luogo a trasformazioni riduci- 

 bili al coniugio e quindi son trasformabili realmente in un piano reale. Le 

 superficie prive di falde conducono invece tutte al caso b) che è l'unico nel 

 quale non vi siano elementi uniti; e poiché tutte le trasformazioni b) sono 

 simili fra loro, così tutte le superficie prive di falde sono equivalenti dal 

 nostro punto di vista; in particolare son tutte trasformabili in una quadrica 

 reale priva di punti reali. Trasformando il coniugio di tale quadrica mediante 

 la proiezione della quadrica stessa da un suo punto sopra un piano reale, si 

 ottiene precisamente una trasformazione b). 



Lasciando da parte i due casi di cui s'è fatto cenno e che si riferiscono 

 a superficie della I a famiglia, gli altri tre casi c), d), e) corrispondono 

 ordinatamente alle tre famiglie, e legittimano chiaramente la distinzione 

 stabilita. In questi tre casi la determinazione delle falde dipende dall'esi- 

 stenza di particolari sistemi lineari reali che conducono a rappresentare or- 

 dinatamente le nostre superfìcie: 



A) Sopra un piano doppio reale con curva di diramazione d'or- 

 dine 2n dotata d'un punto 2n-2-plo, irriducibile e priva di punti doppi ; 



B) Sopra un piano doppio reale con quartica di diramazione di 

 genere 3 ; 



C) Sopra un cono quadrico doppio reale con seslica di dirama- 

 zione di genere 4. 



È quasi superfluo avvertire che per superficie rappresentabile sopra 

 un piano doppio reale intendiamo una superficie che contenga una rete reale 

 di grado 2; e che la curva di diramazione del piano doppio è in questo caso 

 una curva reale. La rappresentazione suddetta permette subito di dedurre, 

 dal numero delle regioni in cui resta diviso il piano (o il cono) dai rami 

 reali della curva di diramazione, il numero delle falde della superfìcie (') ; 

 si trova così che nei casi c), d), e) esso è rispettivamente eguale ad m, 4, 5. 



Per trovare un legame fra questo numero e un invariante della super- 

 fìcie basta partire dalla proprietà, posseduta da tutte le superfìcie con più 

 di una falda, d'esser rappresentabili sopra un piano privo di curve fon- 

 damentali semplici, cioè di curve che siano trasformabili in un punto me- 



( l ) Nel caso C) bisogna prima procurarsi la relazione fra il numero dei rami reali 

 della sesticf» o quello de'i piani tritangenti reali. 



