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diante trasformazione Irrazionale del piano. Quando la rappresentazione di 

 una superficie F si sia ridotta a godere di questa proprietà, il numero dei 

 punti fondamentali risulta indipendente dal procedimento di riduzione ed 

 eguale ad 1+ 1, se I è l'invariante di Zeuthen-Segre della superfìcie. La 

 mancanza di curve fondamentali semplici porta di conseguenza che la tras- 

 formazione antibirazionale involutoria T, relativa alla rappresentazione con- 

 siderata, abbia meno di I -f- 1 punti fondamentali ; ne segue che il numero 

 I + 1 relativo a qualunque trasformata reale di F non può scendere al di- 

 sotto del minimo numero di punti fondamentali a cui è riducibile la T ; e 

 si prova senza difficoltà che tale limite è raggiunto. 



In definitiva si ottiene il seguente teorema: 



Il valore dell'invariante di Zeuthen-Segre inerente alle superficie 

 razionali reali aventi uno stesso numero m di falde, e appartenenti ad 

 una medesima famiglia, non può discendere al disotto di un minimo che 

 si raggiunge effettivamente con una opportuna trasformazione birazionale 

 reale. Il valor minimo a cui si allude è dato dalla tabella seguente: 



Per la I a famiglia 1 = 2m se w >> 1 , 1 = — 1 se m = 1 , 1 = 0 

 se m = 0 ; 



Per la II a famiglia 1 = 6, m = 4 ; 



Per la II I a famiglia 1 = 7, m = h . 



La costruzione effettiva di superficie, proiettivamente determinate, con 

 dato numero di falde e col valor minimo di I, non presenta alcuna seria 

 difficoltà. 



Ad ogni classe, cioè ad ogni insieme di superficie razionali equivalenti 

 per trasformazioni birazionali reali è legato un certo numero di moduli reali. 

 La ricerca di questi, ossia delle condizioni d'identità birazionale reale di due 

 superficie razionali reali F , F' , si fa tenendo conto del fatto che le trasfor- 

 mazioni reali mutano uno nell'altro due sistemi caratteristici. Approfondendo 

 lo studio di questi sistemi e delle loro proprietà (sempre nel caso m > 1 , 

 perchè per m~0,l non vi sono moduli) si conclude che sono moduli: 



Per la I a famiglia i 2m — 3 birapporti reali che sono invarianti 

 proiettivi del gruppo delle 2m rette pi (i ~ 1 , ... , 2m), le quali, a meno 

 d'una proiettività, si possono ritenere reali ; 



Per la IP e IIP famiglia i 6 o risp. 8 invarianti proiettivi 

 reali del gruppo dei punti fondamentali della relativa trasformazione d) 

 od e), che, come è noto, si posson supporre reali. 



Si aggiunga che, nel caso della I a famiglia, ad ogni gruppo proiettiva- 

 mente determinato delle 2m rette p t , corrispondono due classi di superficie, 

 ciascuna delle quali è legata ad uno dei due segni d' un polinomio caratte- 

 ristico nella rappresentazione analitica della relativa trasformazione c) . 



