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F e f riescono notoriamente funzioni della variabile complessa x-\-iy\ ciò 

 che del resto è immediata conseguenza di (1). 



Per avere una prima soluzione approssimata giova ora sfruttare il me- 

 todo escogitato da lord Rayleigh nel problema dell'onda solitaria 



Paragonando, qualitativamente, il moto di una particella liquida sul 

 fondo del canale al movimento di un grave libero discendente sullo stesso 

 piano e che parte dalia origine delle coordinate colla velocità c, e ammet- 

 tendo — ciò che si accorda colla intuizione fisica e colle constatazioni di 

 fatto — che la profondità del canale tenda a diminuire da monte a valle, si 

 può ritenere che nello sviluppo 



(5) f(x + iy) = f{x) + iy f\x) + R , 

 è 



Sarà pertanto trascurabile l'ultimo termine dello sviluppo precedente 



se e una quantità di primo ordine (di cui cioè si possono ritenere 



nulle le potenze superiori alla prima), cioè se la velocità media della se- 

 zione a monte è abbastanza rilevante rispetto alla velocità di caduta li- 

 bera di un grave da un'altezza pari alla profondità del canale nella 

 stessa sezione. 



Quando questa condizione è soddisfatta si dirà che nella sezione consi- 

 derata il canale è a rapido corso ( 2 ). 



4. Poiché in (5), colla voluta approssimazione, si può ritenere R = 0, 

 da (4) si ricava, tenendo presente che per x = y = 0 dev'essere (p = tp = 0, 



(6) ( y = F(as) , V= Vf(4i 

 ( u = f(x) , v = — yf\x) ; 



dove F(0) = 0. 



La seconda di (2) e la (3) diventano, colla cennata approssimazione, 



,yf(x) = q, ■ . 



(7) ] -;— r» , , , > sopra X' . 

 { f(x) — 2g{% sen a — y cos ce) = costante ) 



(*) Scientific Papers, voi. I, pag. 256; ovvero Phil. Mag. I, pp. 257-279, 1876. Il 

 problema stesso era già stato trattato poco prima dal Boussinesq: Théorie de Vintume- 

 scence liquide appelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal 

 rectangulaire [Comptes Eendus, t. 72 (1° seni. 1871), pp. 755-759]. 



( 3 ) Ne viene come conseguenza — poiché la velocità media va aumentando da 

 monte a valle — che se il canale è a rapido corso in una determinata sezione, lo è 

 pxire nelle seguenti. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX. 2° Sem. 84 



