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direzione e la stessa curvatura simultaneamente. B non può quindi descrivere 

 due volte uno stesso arco di curva: le orbite chiuse sono impossibili » f 1 ). 



Pongo l'origine in A, chiamo con r e & le coordinate polari di B e 

 con K la costante attrattiva. Scrivo l'equazioni del moto relativo e con 

 trasformazioni elementari ricavo subito 



(1) 



(2) 



(3) 



= c 



d*r _ 

 dt 2 ~ 



1 dv 2 



2 di 



-r — K 



M(f) 



1 dVlérY 



2 dt [_\dt J r 2 J 



KM{t) dr 

 dt 



Prendo l'espressione del raggio di curvatura R in coordinate polari e valen- 

 domi della (1) e della (2) ottengo dopo brevi calcoli 



t> c* r»_L_/ idr \Hi 



R = KM(7)L r + (r^) J ■ 

 dv 



Essa mostra che se r e — riprendono lo stesso valori in tempi diversi, 



non può riprenderlo R . ed. d. 



II) « Se r ammette un limite superiore L, allora crescendo il tempo, 

 r deve divenire minore di ogni quantità assegnata » . 



Chiamiamo con <s una quantità positiva piccola a piacere. Se fosse 

 sempre r >> a della (2) avremmo 



d*r e % _ M(Q 

 rf* 2 or 3 L 2 



vale a dire indicando con — 2a 2 una quantità negativa arbitraria, sarebbe 

 possibile trovare un certo tempo r, tale che da t in poi si avesse sempre 

 d 2 r 



-jj-p < — 2a 2 e quindi r < — a 2 / 2 -\- §t-\-y. Crescendo t , r diverrebbe 0 



e poi <[0, il che è assurdo. Quindi r deve divenire <! e. c. d. d 



III) « La r non può divenire 0 per qualsiasi valore di ^ ». 

 Ricordiamo essere c < 0. Vediamo s' è possibile che r s'annulli per 



t = x. Supponiamo per generalità che r = r(t) abbia dei massimi e mi- 

 nimi tra 1=0 e t = t, per es. un minimo per t = t x e un massimo per 

 t = t 2 . Riprendiamo l'equazione (3), dividiamo l'intervallo Or, nei tre in- 

 tervalli 0£i , titì , ì % t durante i quali il dr ha sempre il medesimo segno e 



{}) Analogamente sarebbe facile provare che l'orbita di B non ammette alcun asse 

 di simmetria passante per l'origine A. 



