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integriamo col teorema della media. Ricordando che M(t) è funzione cre- 

 scente del tempo avremo dopo facili riduzioni 



(4) -f<vU + 2KM(r)-±-. 



Dalla quale se r t=r fosse = 0, si avrebbe l'assurdo oo 2 < oo . Sarà quindi 

 r (=T > 0. c. d. d. 



Estensione del teorema di Gyldèn. 



Chiamiamo con h t=0 la differenza iniziale tra la forza viva e il poten- 

 ziale di B. Gyldèn ha dimostrato che se si ha h t=0 <C 0, crescendo indefinita- 

 mente il tempo, r tende a 0. Estendendo il teorema di Gyldèn possiamo dire : 



« Dati due corpi A e B attraentisi con legge Newtoniana, affinchè la 

 loro distanza r qualunque siano le loro condizioni iniziali, tenda a 0 cre- 

 scendo indefinitamente il tempo, è necessario ed è sufficiente che la somma 

 M(t) delle loro masse per t = oo divenga oo d'ordine non inferiore al 1° 

 rispetto a t ». 



Ricordo che M(t) è funzione crescente di t. Per maggior chiarezza di- 

 vido il teorema in due: 



a) Se M(t) diviene oo d'ordine inferiore al 1° rispetto a è sempre 

 possibile scegliere le condizioni iniziali in modo che il punto B si allontani 

 indefinitamente da A. 



Consideriamo sul piano del moto, un punto mobile ausiliare P e sia s 

 la sua distanza da A variabile secondo la legge 



v dl % s 2 



Sia s t=0 > 0. 



Possiamo scegliere la velocità iniziale radiale m modo tale 



ds 



che P vada all' ce e che il ~ sia sempre > 1 . Basta a tale scopo osser- 

 vare che — — ds è convergente. Sarà allora s^>t, M(s) > M.(l). Tor- 



Js t=o s 



nando al punto B dalla (2) e dalla (5) ricavo con facilità 



dt 2 



. d 2 s . TT , T , , r i i — i 



la quale mostra che se B è più distante dall'origine di P, anche l'accele- 



d z r ' i d z s 

 razione radiale — di B è maggiore dell'accelerazione radiale — di P. 



