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Matematica. — Applicazione dell'algebra delle f arnioni per- 

 mutabili al calcolo delle funzioni associate. Nota di G. C. Evans, 

 presentata dal Socio V. Volterra. 



1. Abbiamo considerato in una Nota precedente (>) il problema del 

 calcolo del nucleo dell'equazione risolvente per una data equazione integrale. 

 In questa Nota si continua lo stesso argomento per mezzo della teoria delle 

 funzioni permutabili di prima specie del prof. Volterra, facendo uso di certe 

 funzioni di nullità (*). 



Colla solita terminologia chiameremo associate le due funzione K(#,|/), 

 k(x , y) se sussiste fra loro la ben nota relazione di Volterra 



(1) K(x , y) + k(x , y) = f\(x , f) A(| , y) d§. 



Jy 



Questa relazione (a) è reciproca, (b) determina unicamente una delle due 

 funzioni se l'altra viene data, e (e) esige che se una è nucleo di una data 

 equazione integrale l'altra sia nucleo della sua equazione risolvente. 

 Date le funzioni continue 



K,(a; , y) , K 2 (x , y) , ... , K m (%, y); 

 supponiamo di conoscere le loro funzioni associate 



ki(x , y) , k t (x , y) , ... , k m (x , y) , 

 e formiamo per mezzo del prodotto simbolico 



(2') F{x , y) G(x , y) = Tf^ , §) G(£ , y) dì 



Jy 



due funzioni razionali intere arbitrarie 



K(x , y) = P(K! , K 2 , ... , K TO ; k t , k 2 , ... , k m ) 

 k{x ,y) = Q(K, , K 2 , ... , K m ; k x , k z , ... , k m ) • 



Cercheremo delle condizioni sulle P , Q in modo che le funzioni K(x , y) , 

 k(x , y) siano associate, cioè che si abbia l'equazione (1). 



2. Consideriamo il caso nel quale le m funzioni Ki , K 2 , ... , K TO sono 

 permutabili fra loro. Da questa ipotesi segue che tutte le funzioni K x , K 8 , 

 ... , K m ; ki. , k 2 , ... ,k m ; K , k sono permutabili fra loro, e si avrà il teorema: 



f 1 ) Eend. della R. Accanemia dei Lincei, voi. XX, ser. 4 a , 5 novembre 1911. 

 ( a ) Evans, Sopra l'algebra delle funzioni permutabili. Atti della R. Accademia dei 

 Lincei, voi. Vili, marzo 1911, pag. 6. 



