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Teorema. Se ki , M%, ... , k m sono le funzioni associate alle funzioni 

 Ki , K 2 , ... , K m rispettivamente , le quali ultime sono permutabili fra loro, 

 i due polinomi simbolici 



K = P(K, , K 2 , ... ,K* ; ki,fc t , ... , k m ) 

 k = Q(Ki , K 2 , ... , K TO ; k\ , kt , ... , k m ) 



più generali che siano possibili tali che la funzione k(x , y) sia associata 

 alla funzione K(x , y) si possono scrivere per mezzo delle formule sim- 

 boliche 



K = 1 — (1 — K,)».(l — K s )p. ... (1 — E w )f»(l — %)«,(1 — A 2 )2 2 ... (1 — A- m )5m ; 

 A =1 — (1 — K 1 ) 9 »(l — K 2 )* s ... (1 — K m )9m(l — — ... (1 — ^m) 35 » 



rfove /e p 1 ,...,p m ,q l ,...,q m sono numeri interi, positivi o nulli. 



Si può inoltre aggiungere: 

 È sempre possibile ridurre le p% qi in modo che si abbia pi = 0 o q% 



— 0 per i «= 1 , 2 , ... , m . 



In questo teorema le moltiplicazioni simboliche si spiegano colle (2') 

 e colla definizione seguente (*): 



(2") \l-l?(x,y)\\l-G(x,y)\ = 



= 1 - F(# , y) - G(a; , «/) + \\x , £) G(? , ,y) .df . 



3. Siccome le funzioni , K 2 , ... , K m sono arbitrarie possiamo pren- 

 derle tali che s'annullino tutte quando si ha x = y. Ne segue che le ki,k 2 , 

 ...,k m , si annulleranno per x = y, e quindi che lo stesso accade per le 

 funzioni K,&, le quali, come si vede facilmente, ponendo Ki = K 2 = ■•• = 



— K m = 0 , non possono contenere termini di grado nullo. Perciò facendo 

 le trasformazioni 



,m oì=1— Ki a — \ — K 



= 1 — ^ jf = 1 — k 



si avrà che tutte le funzioni u y , a 2 , ... , a m , /? 2 , /S 2 , ... , /9 TO , a , /? saranno 

 funzioni non di nullità, e la moltiplicazione soddisferà a tutti i postulati 

 dell'algebra usuale ( 2 ). 



Le equazioni (2) si scriveranno nella forma seguente : 



« == R(«i , « 2 , ... , a m ; ... , p m ) 



fi == S(a 1 , a 2 , ••• , «m ; Aift ì — ) ft») 



(*) Per le definizioni (2') e (2") vedi V. Volterra: Questioni generali sulle equazioni 

 integrali ed integro-differenziali. Rend. della R. Accademia dei Lincei, ser. 5 ft , voi. XIX, 

 1° sem., febbraio 1910, §§ 1 e 2. 



( 2 ) Evans, loc. cit., §§ 4-16. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX, 2° Sem. 91 



