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2 , ... . m . E quindi ritornando alle variabili K , k , K ; , h , avremo come con- 

 dizioni necessarie che le K , k si possono scrivere nelle forme simboliche 



K0*»(1 — K,)*....(l - K^ 



(1 — k v )ii (1 — k 2 y* ... (1 — k*)*m 

 Kx)«. (1 - K,) ff « ... (1 — K M )2» 



(1 — AO*. (i;;— ^«)*«... (1 — . 



4. Che le formule (7), quando sono scelte arbitrariamente le pi , purché 

 soddisfino alle condizioni del teorema, rappresentano veramente funzioni asso- 

 ciate segue dalla forma delle stesse (7), perchè soddisfano ovviamente alla 

 equazione (1), anche nel caso generale in cui le funzioni K» non sono più 

 ristrette ad essere funzioni di nullità. È dunque completata la dimostra- 

 zione del teorema. 



5. Consideriamo il caso speciale di due funzioni permutabili Kj , K 2 

 colle loro funzioni associate k y ,k<i. Applicando le (7) si ha il teorema che 

 le due funzioni K e k date per le formule simboliche 



(g) K = i — (1 — Ki) (1 — K 2 ) = K x -j- K 3 — Ki K 8 



k =1 — (1 — £i)(l — k t ) = fci +k % — k l k, 



sono associate. 



Dalle espressioni (8) si possono generare le espressioni più generali (7), 

 il che si verifica facilmente. Infatti partendo dalle formule (7) applicando 

 la (8) si ha che 



1 — (1 — K s )(l -K) = 



1 — (1 — K s ) (1 — Ki)Pi (1 — Kg)** ...(1— Knpn 

 (1— k ^{1—^(1— k^m 



1 — (1 — k,)(l— k) = 



1 — (1 — k s ) (1 — Ki)2. (1 — K 2 )? 3 ... (1 — K m )«» 



(i — k^ (i — k t y* (i — k m )p m 



e anche che 



1— (l-k s )(l — K) = 



1 - (1 — k s ) (1 - Ki)f> (1 — K 2 )^ 2 ... (1 — K m )P m 

 (1- k 1 )^(l~k 1 )i,...(l-k m )i m 



1 — (1 — K s )(l-^k) = 



1 — (1 - K s ) (1 — KOs. (1 - KO^ ... (1 — K m )V 

 (1 — k\Y.t (1— - kìY* ... (1 — k m )Pm , 



e quindi scegliendo convenientemente la K s o la # s possiamo far crescere 

 di un' unità una qualsiasi delle p t , q t . 



K = 1 — (1 — 

 < 7 > *=!-(!- 



