— 692 — 



6. Nella Nota sopracitata ( l ) abbiamo trattato la combinazione dei due 

 nuclei speciali Ki e K 2 = — Ki . Abbiamo veduto cbe la funzione asso- 

 ciata alla funzione 



K = | X K 1 (xJ)K 1 {£,y)d§ = ~Kl 



y 



è la funzione 



k = f k\(x , £) , y) o!£ = k, k s , 



dove ki è la funzione associata alla Ki e k 2 quella associata alla K 2 = — Kj. 

 Però ponendo K 2 = — K) nell'equazione (8) si avrà che 



K = Kf 



Jc = k x -f- k\ — ki ko . 

 Quindi ricaviamo il fatto che in questo caso 



k 1 -J- k t = 2 fcy k 2 



e anche che 



il che si può verificare direttamente dalle formule iterative per le k x , k% . 

 Abbiamo dunque il teorema: 



ree 



Teorema. La funzione associata alla funzione I K(x , £) K(£ , y) d£ 



Jy 



si può scrivere 



\ {k{x , y) + k\x , 2/)) , 



rfoye #(ce , ?/) è associata a K(x , e k'(x , y) a — K(x , y) . 



7. La questione generale che abbiamo risoluto si può considerare anche 

 dal punto di vista geometrico. Cerchiamo le trasformazioni più generali 



Xj = Vi(Xi , X% , ... , X m i yi i '/2 i ••• i ym) . , _ 



l = 1 . 2 , ... , W , 



Yj = Qì(^i , ;# 2 1 ••• -, x m \ y\ i y-2 » ■•• i ym) 

 tali che si abbia 



X|T«— X t + T, i = l;2,...,n 



( ! ) A pag. 455. Il fatto che k = Ai & 2 si può ricavare in modo diretto. Colla nota- 

 zione simbolica si ha 



kt = - K,/(l - K t ) , k s = K,/(l + Ki) 



e perciò 



,=,- K»»/(Ì — Ki 2 ) . 



il che dice che hi k t k 2 è associata alla Ki 2 . Sulla corrispondenza dei problemi algebrici 

 e integrali, vedi V. Volterra. Rend. della E. Acc. dei Lincei, serie 5 a , voi. XIX, 20 feb- 

 braio 1910; e voi. XX, 6 agosto 1911. 



