— 693 — 



quando si ha 



Xiyi = Xi-\-yi 2 = 1,2,... , m, 



e 



X,- = Ti = 0 ?" = 1 , 2 , ... , » 



quando si ha 



a;.» = y% = 0 , i — 1 , 2 , ... , m , 



essendo le P t - , Qi funzioni razionali intere delle variabili xi , y« . 



Si vede subito dall'analisi dell'artìcolo 3, che quando si ha x t yi = 

 _ x . _|_ y i per ? = 1 , 2 , ... , m le trasformazioni più generali di questa 

 specie devono ridursi alle forme 



p; = 1 — — (i — X S ••• (? — 



(i-rf(i-^-(i-^ 



q; = 1 - - (1 - (1 - y,)P\ ... (1 - y m )*i 



(i- Xl )<ii(i—x 2 )tì...(i—x m y™ 



in cui |) s ' = 0 per s , i qualsiasi, e le 0% sono delle costanti arbitrarie, 

 purché diverse dallo zero. E quindi per una generalizzazione di un teorema 

 del Noether dovuta al Severi (*) si ha che le trasformazioni più generali, 

 polinomi, si possono scrivere come le seguenti: 



m | — m 



X f = Y \{x s y s — x s — y s ) Rst \ + P- 1 + Y \(x s y s — x s — y s ) H' si \ 



S=l I s=l 



m | — m — j 



Ti = Y \(x s y s — x s — y s ) L si ( + Q'A 1 + ^_ \{x s y s — x s — y s ) L' si \ 



s=i L_ s=i _f 



* i = 1 , 2 , ... , n , 



in cui le H Si , Hsi , , sono funzioni razionali intere arbitrarie. 



Il problema geometrico ammette delle generalizzazioni ovvie. 



8. Consideriamo finalmente il caso generale in cui le funzioni K, non 

 sono sottomesse a nessuna condizione di permutabilità. Il polinomio P deve 

 essere tale che, scelte le K, permutabili, esso si riduca alla forma data 

 dall'equazione (7). Un tale polinomio 



P=l-(1- K tI )f> (1 - ft,> (1 - K ia )*Hl - ^ ... (1 - K u )n (1 — k sl Y* 



(') F. Severi, Rappresentazione di una forma qualunque per combinazione lineare 

 di più altre. Eend. della E. Accademia dei Lincei, voi. XI, ser. 5 a , 1° sem., 2 febbraio 

 1902. Nel nostre caso di uno spazio di 2n -f- 1 coordinate omogenee le m ipersuperficie 

 sono cilindri che si tagliano in una varietà priva di parti multiple. 



