— 695 — 



Definita ima legge di divisione di a ... b in modo che per n tendente al- 

 l' infinito gli intervalli parziali Sid,.:.à n tendano uniformemente allo zero, 

 si dimostra che se ^ n (x) tende ad una funzione limite determinata ip{x), ad 

 essa pure tande la xp n (x) ed una qualsivoglia funzione costruita come le 

 V» e *P„, salvo a prendere, in luogo dei massimi e dei minimi, n valori 

 di f{x) scelti comunque negli intervalli detti. Questa funzione limite, se 

 esiste, non dipende dunque dalla scelta dei valori di f{x) negli intervalli, 

 ma non è indipendente dalla legge di divisione di a ... b . 



Invece delle funzioni xp n e <P M di dianzi, si definisca una funzione <p n (cc) 

 nel seguente modo : siano ó 2 ... ó n gli intervalli in cui a ... b è decomposto, 

 f(xi)f{%*) ...f{x n ) n valori scelti di f(x) in ciascun intervallo: siano f(x[) 

 f(sc' t ) ... f(x' n ) gli stessi valori ordinati in ordine non decrescente, ó[ ó' 2 ... ó' n 

 gli intervalli corrispondenti. Si ricomponga a ... b coi segmenti d[ §[ ... ó' n 

 succedentisi nell'ordine scritto : la funzione tp n (x) è quella che ha nei detti 

 segmenti i valori f(x[) f(x' z ) ... f(x' n ) . Sotto certe condizioni è dimostrato 

 che al tendere di n all'infinito <p n (x) tende ad una funzione non decrescente 

 che prende tutti i valori di f(x) e di più il suo integrale in a ... b ha lo 

 stesso valore dell'integrale di f(x) pure in a... b. 



La dimostrazione dell'esistenza di una tale funzione è fatta dal profes- 

 sore Somigliana nell'ipotesi che f{x) abbia un numero finito di tratti di 

 invariabilità e il gruppo di punti in cui assume uno stesso valore (distinto 

 da quelli assunti nei tratti di invariabilità) abbia un numero finito di gruppi 

 derivati i quali appartengano al gruppo primitivo. 



Una tale funzione, detta dal prof. Somigliana funzione ordinata di f(x), 

 coincide, nel caso della mancanza di tratti di invariabilità, con la funzione 

 r(x) definita mediante le relazioni 



r{a + 0=r(h — L A ) = /fe) 



ove l A ed L A rappresentano la somma di tutti gli intervalli nei quali f(z), 

 supposta continua, è minore, o maggiore, rispettivamente, del valore A che 

 essa assume nei punti x A . 



La seconda delle Note citate contiene ancora una estensione del pro- 

 fessore Volterra della definizione di funzione ordinata nel caso che f{%) sia 

 completamente arbitraria: ma io mi limiterò, nel seguito, alla considera- 

 zione di funzioni continue. 



E precisamente io dimostro l'esistenza di una funzione continua non 

 decrescente che prende tutti i valori di f(x) in a ... b ed ivi ha l'integrale 

 uguale a quello di /(ce), supponendo solamente che quest'ultima sia limi- 

 tata e continua ; a codesta funzione do il nome di funzione ordinatrice di 

 f{%). Estendo poi il concetto di funzioni ordinatrici, e ne mostro l'esistenza, 

 per funzioni di più variabili, per le quali c'è luogo a considerare funzioni 

 ordinatrici di specie diverse. Accenno infine ad un problema di idrostatica 



