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la cui soluzione è rimandata alla considerazione di funzioni ordinatrici di 

 funzioni di più variabili. 



2. Sia f(x) una funzione reale della variabile reale x nell' intervallo 

 a ... b, ivi continua ed avente il minimo fi ed il massimo M . 



IH siffatta funzione f(x) esiste una funzione ordinatrice. 



Sia A un valore compreso fra fi e M , gli estremi inclusi. Esisterà la mi- 

 sura dell'insieme dei punti in cui f(x) < A; codesta misura m\l\f(x) <i k\~] 

 indicbiamola, per brevità, con l x : esisteranno del pari m\l)f(x) = A}] e 

 m[l]f(x) > A}] , cioè le misure degli insiemi dei punti in cui f{x) = A e 

 dei punti in cui f(x) >> A ; le indicheremo con l k e L A . 



Si definisca in a ... b una funzione con le condizioni seguenti: se A A = 0, 

 in x = a -j- l K abbia il valore A ; se l k =4= 0 la funzione abbia il valore A 

 in £c==.ffl-f-Z A , in x = a-\-l k -\-ù A = b — L A e nei punti intermedi: fa- 

 cendo percorrere ad A tutti i valori da fi a M resta in a ... b definita una 

 funzione che prende tutti i valori da fi ad M . Essa è non decrescente, giacché 

 L>^> L se A'>A; è continua, perchè, se così non fosse, avrebbe in un 

 punto un salto da un valore B ad uno maggiore B' ed in nessun punto as- 

 sumerebbe i valori compresi fra B e B', ciò che è contraddittorio alla pro- 

 prietà di ammettere tutti i valori da fi a M. 



Ora, se tanto per la funzione così definita quanto per la f(x) si defi- 

 nisce l'integrale esteso all'intervallo a ... b col metodo di ÌLebesgue, risulta 

 immediatamente che i due integrali sono uguali. 



Con ciò è provato che la funzione dianzi definita è una funzione ordi- 

 natrice di f(x)\ la si può rappresentare con Of(x). 



3. Per una funzione continua di due variabili f($.,y) definita in un campo 

 J quadrabile, ivi avente il minimo fi ed il massimo M, c'è luogo a definire 

 funzioni ordinatrici di due specie: a) una funzione ordinatrice rispetto ad 

 entrambe le variabili, che si può rappresentare con Of(xy) continua in J 

 che assume tutti i valori compresi fra fi ed M , non decrescente nelle dire- 

 zioni parallele agli assi e tale che 



b) una funzione ordinatrice rispetto ad x, che si può indicare con O x f(xy), 

 la quale sia continua in J, in guisa che su ogni retta y = y sia O x f(xf) 

 una funzione ordinatrice della funzione (di x) f{xy) e conseguentemente sia 



Il campo J abbia, in questo caso, per contorno due curve rappresentate da 

 due equazioni x = a(y) , x == §{y) con a(y) e /%) funzioni continue, ad un 

 valore, nell' intervallo a ... b, essendo a e b le ordinate massima e minima 



dx dy = O x f(xy) dx dy . 



