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del contorno stesso. Il contorno può, eventualmente, oltre le dette curve com- 

 p rendere due segmenti sulle rette y = a e y = b . 



Si può considerare analogamente una funzione ordinatrice rispetto ad 

 y , Oyf(xy) dotata delle proprietà analoghe a quelle della precedente, fatte sul 

 contorno di J analoghe ipotesi. 



4. Cominciamo con il dimostrare che 



di una funzione f(xy) soddisfacente alle condizioni esposte in prin- 

 cipio del § 3 esiste una funzione ordinatrice Of(xy). 



Se A è un numero compreso fra ^ e M , esisterà la misura superficiale 

 dei punti in cui f(xy) < A , quella dei punti in cui f{xy) = k e quella 

 dei punti in cui f(xy) > A . Si porrà 



m* [I \f(xy) < A {] = g k ; m s [I \f(xy) = A}] = y A ; 

 ™ s [I A}] = G A . 



Ora si osservi che se d è un asse, per l'origine degli assi, nel 1° e 3° 

 quadrante, su cui la direzione positiva sia quella che forma con la direzione 

 positiva dell'asse x un angolo acuto, ogni retta r normale a d e che abbia 

 qualche punto in comune con J, dà luogo, insieme con la parte del con- 

 torno di J che sta rispetto ad r dalla banda negativa di d , ad uno o più 

 pezzi di J la somma delle cui aree in valore assoluto è determinata. 



Ciò posto, sia r A la retta normale a d che con la parte anzidetta del 

 contorno di J limita un'area g A . Definiamo in J una funzione con le se- 

 guenti condizioni : se y A = 0 , nei punti della retta r A che appartengono a J 

 la funzione abbia il valore A ; se y A ={= 0, nei punti della porzione di J li- 

 mitata dalle rette r A e da quella parallela che con la precedente e con il 

 contorno di J forma l'area y A e sul contorno di detta porzione, la funzione 

 abbia il valore A. Al variare di A da fi a M, in J è definita una fun- 

 zione non decrescente nelle direzioni parallele agli assi, che prende tutti i 

 valori da fi a M. 



Essa funzione è continua; per la costanza della funzione sulle rette 

 normali a d , basta provare la continuità nella direzione d . Poiché in questa 

 direzione la funzione è non decrescente, la discontinuità non potrebbe consi- 

 stere che in un salto da un valore B ad uno maggiore B' ed allora la fun- 

 zione non prenderebbe in nessun punto i valori compresi fra B e B', ciò 

 che non può essere. 



La definizione di integrale di campo di Lebesgue applicata alla fun- 

 zione f(xy) e alla funzione così definita fa vedere che gli integrali estesi 

 a J delle due funzioni coincidono. 



La funzione definita nel modo dianzi esposto è una funzione ordinatrice 

 di f{xy) rispetto ad entrambe le variabili. 



Rendiconti. 1911, Voi. XX, 2° Sem. 92 



