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5. Veniamo ora alla dimostrazione dell'esistenza della funzione ordina- 

 trice rispetto ad ce: analoga dimostrazione vale per la funzione ordinatrice 

 rispetto ad y. Il campo J soddisfa alle condizioni del § 3, b). 



Su ogni retta y = y la, funzione f(xy) diviene f{xy) funzione della 

 sola x\ come tale sia Of(xy) la funzione ordinatrice costruita come è 

 detto al § 2. Se tale costruzione si fa per tutte le rette parallele ad ce 

 condotte per i punti dell'asse y di ordinate comprese fra a e b , viene a 

 definirsi in J una funzione Q>(xy) la quale prende tutti i valori da fi a M 

 e che soddisfa alla relazione 



f(xy) dx = <D{xy)dx, 



J«(y) ' V 9) Ja(y) V 91 



da cui discende tosto 



^ f(xy) dx dy = ^ JS){xy) dx dy. 



Resta da provarsi che 1>(xy) è continua in J, per vedere che essa funzione 

 è una funzione ordinatrice di f(xy) rispetto ad x. 



A quest'uopo premettiamo qualche semplice considerazione. 



Se (p(x) è una funzione continua definita in un intervallo a ... /? deno- 

 tiamo con À , 1% , I/£ i numeri U , A A , L A del § 2 relativi alla funzione 



(p(x) e denotiamo con cc^_ 0 il punto a-j- ^ e con cc^ 0 il punto « + ^ 



' A A 



Allora, per una qualunque funzione # (ce) compresa fra g> (ce) — e e 

 $p(cc) -j- <r, si avrà 



J/ K-0 ^ X A-0 ^ ^A-0 



Cp "+■ O rv*X rf^P ^ 



X A+0 ^^A + 0^ X A + 0 



ossia 



X fA-<7)-0 ^^A-0 ^ X (A-*-ff)-0 



Se ne deduce che la %(x) nell'intervallo x^ K _ a ^ Q ... x^ k ^ a ^_ 0 è com- 

 presa fra A — 2o" ed A -j- 2<r. 



Veniamo ora alla dimostrazione che abbiamo in vista. 



Sia cc 0 a/o un punto interno a J, in cui <P(cc 0 y 0 ) = A . Sopra ciascuna 

 retta y — y' la 4>(xy') e la f{xy') diventano funzioni di ce nell'intervallo 

 ce(y') ... f}{y'). Sulla retta y = y 0 nell'intervallo a(y 0 ) ... p(y 0 ) siano XA-o,y 0 , 



