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fcA + o,y 0 rispetto alle funzioni f(xy 0 ) o (^(xya) le ascisse dei punti ana- 



zione g>(x) di dianzi. 



Sia a un numero prefissato piccolo ad arbitrio e sia rj un numero infe- 



positivo 6 così fatto che entro la striscia limitata dalle rette y = y<> — ó, 

 y = y 0 ^-6 siano soddisfatte le seguenti condizioni: le oscillazioni di a(y) 



e p(y) sono inferiori a ^ ; su ogni retta x = costante, la oscillazione di 



f{xy) è inferiore a - . 



Se tutte le funzioni f(xy') e <&{xy') fossero definite nello stesso inter- 

 vallo di valori x, a(y 0 ) ... /% 0 ) , essendo per ogni y fra y 0 — ó e y 0 -J- d 



f{xy) compreso fra f(xy 0 ) — | e f(xy 0 )-{-j, e tenendo conto della os- 

 servazione premessa, si dedurrebbe senza pena che nel rettangolo limitato 

 dalle rette y = y» — d , y — y 0 -\-d , x = x 0 — r] , x='x 0 -\-rj la (t>{xy) 

 non oscillerebbe per più di <r. Tenendo conto della differenza di ampiezza 

 degli intervalli a(y') ... fi(y') rispetto all'intervallo a(y 0 ) ... @(y 0 ), si può asse- 

 rire che entro il rettangolo limitato dalle rette y — y 0 — ó , ^ = t/ 0 -|- J, 



fi Ti 



x = x t — ^ , x — x 0 -j- ^ la 4>(xy) oscilla per meno di a . 



Con ciò è provata la continuità di Q(xy) in x^y^. Si vede facilmente 

 come debba modificarsi leggermente la dimostrazione nel caso che 



Xo y a sia 



sul contorno di z/. 



La ®{xy) è dunque funzione continua in i e perciò, per le già riscon- 

 trate sue proprietà, una funzione ordinatrice di f(xy) rispetto ad x. 



6. Per una funzione f{xyz) reale di tre variabili reali, limitata, con- 

 tinua in uno spazio 2 avente volume, si possono considerare funzioni ordi- 

 natrici di tre specie: 



a) una funzione ordinatrice rispetto a tutte e tre le variabili Of{xys), 

 cioè una funzione continua in 2, non decrescente nelle direzioni parallele 

 agli assi, che prende tutti i valori di f(xys) e per la quale si ha 



b) una funzione ordinatrice rispetto ad a; e y, O xy f(xys), la,qu ale 

 è continua in 2 e in ogni piano s = ì si riduce alla funzione Oxyfixy!) 

 che è ordinatrice rispetto ad entrambe le variabili della funzione (di x e y) 



loghi a quelli di ascissa x 



sp 



A-0 



, £^__ 0 nell'intervallo a... b rispetto alla fun- 



esisterà un numero 



