ed: 



A 0 = As2 fm — f^m > Ai = An fm — » A a =/2sa fm — f?m 



A 2 — A11A22 — f\n ? A& = A33 : /aà3 — Pm » M = fm fm — fm fm 

 A 6 = Aia A13 — An A«a> A 7 — A12 A23 — A22 fm ? A 9 -=Ai3 A23 — fmfm 

 Ag = A22 A33 + /133 A23 — 2A23 A33 ! Aio = A.33 A22 ~+~ fm fm — 2A23 A23 

 il covariante S si può esprimere nel modo seguente: 



S =- A 2 0 + Ai A 2 + A 3 A 4 + A s A 0 + A 7 A 8 + A 9 A ! n . 



4 



« Suppongasi che per la data forma f sieno : 



Aa3 = 0 A33 = 0 All = 0 A22 — 0 



si avrà : 



■778== — j/Aii A33 /223+A22 A 12 /331+/333 A23 /112J ; 



ora una forma f che soddisfi alle condizioni superiori è necessariamente la seguente: 



f = axf + §x^ + ya? 3 * -h 4aa? s 3 a? 3 + 4ò;» 3 3 x y -+- icx? x% 

 e la corrispondente forma S sarà: 



S = — 4 ^abc (axi x^ + bx? x x + ex? Xi)+%\ ®% %z ca? 3 + yc" oofe H- aa 2 6a^) J . 



« Se infine supponiamo a = /3 = y = 0 si ottiene la: 



S = — abef 



e si ha il teorema: 



« La forma ternaria del quarto ordine: 



f == axi x% -h bx? Xi -f- ex? x% 

 ha la proprietà di riprodursi nel proprio covariante S. 



« 2. Consideriamo la specie di curve del quarto ordine rappresentate dalla 

 equazione : 



(1) f = X?X3-hX?Xi-\-Xi S X % = 0 



nella quale si sono supposte a=-b = c=l, ciò che evidentemente non altera la 

 generalità dei risultati. 

 « Sia : 



(2) y\ x\ H- 2/2^2 + V* x-ì — 0 



una tangente doppia alla curva f=0, essa come ho dimostrato in altra occasione ('), 

 sarà tangente comune a due curve l'una della nona classe, l'altra della classe do- 

 dicesima. 



« Per determinare le equazioni di queste ultime due curve, si indichino con: 



co (x\ , oc%) — 0 



la equazione che risulta dalla eliminazione di x z fra le (1) (2), e con: 



i covarianti di quarto e di sesto ordine e l' invariante quadratico della forma f. 

 Ciò posto le equazioni di quelle curve sono le: 



S 0 = 0, s ?0 2 — 1200* = 0 



(') Annali di Matematica. Serie II. a Tomo 7, pag. 202. 



