il significato rispetto alla deformazione della superficie. Definisco questa funzione 

 coniugata zs ponendo: 



z òx~~' ì ~òy s ~òx' 1 ~òy~ ~òoc ~òy ' 



«In tal modo ottengo che zs e — — | non possono differire che per 



\~òy Dx/ 



una costante. Il significato della funzione coniugata zs si ottiene colle se- 

 guenti considerazioni. Deformando la superfìcie , un elemento da qualunque di 

 essa si sposterà. Trascuriamo le deformazioni che subisce da e vediamo come si 

 sposta questo elemento supposto rigido. Partendo dalle formule che danno le com- 

 ponenti dello spostamento di un punto d'un sistema rigido: — §a -f- p(y — b) — 

 X O — c), <$y = db-+-n (z — c) — p(y — a), §z = §c + x{x — a) — -n {y — b), in cui 

 è noto il significato delle diverse quantità che vi compariscono, e considerando gli 

 spostamenti dei punti dell'elemento di superficie da supposto rigido, si trova: 



1 1^ " v — — L LjL — l — J -— p — p n — q-^- onde ricordando ì valori di u e v, 



nel nostro caso si ha, -) — p — pn — q%, quindi zs non differisce da 



p — p n — q-^ che per una costante. Si ha dunque che se decomponiamo la rota- 

 zione dell'eleni ento da in due direzioni una secondo l'asse z, l'altra 

 nel piano tangente aa, la funzione zs differisce dalla prima sol- 

 tanto per una costante arbitraria. 



« Considerando zs come funzione di p e q si ottiene: 



~òw_ ~èzs ~òiu iizs 



= òx~~ z ^q ' = òy~i>p' 



le quali sono equivalenti alla equazione (1). È da notare l'analogia che passa fra 

 queste equazioni e quelle che si presentano nella teoria delle funzioni di variabili 

 complesse. Eseguendo la trasformazione di Legendre z x =-. z — px — qy, e ponendo: 



rt'=! — ri Si= -, k— — r, si trova: (1') ti — ^ — 2s x — — -4-ri — ^=0 . 



Dp 2 ~òp~òq ~òq 2 ' Dp 2 7>pìq M 



Se w e W\ sono due integrali della (1), zs e zsi le funzioni coniugate, espri- 

 mendo zs e zs\ per w e wy, si trova che zsdw x — zsidw è un differenziale esatto dJL 



e ponendo E = — 5 , S == , T = , risulta : 



ET — S 2 = ri — s 2 . 



W 7)11 W DII 



« Se W e II sono due funzioni coniugate, abbiamo - — ■■== — — , — - —■ — » 



0 1)X l>q ùy t>P 



onde considerandole rispettivamente come funzioni di w e w\ e di zs e zs\ , si trova 

 == , — e per conseguenza (2) E, 5 — 2S — — hi - — «=U, 



~ÒW DWi ~ÒWi ~ÒZS t & V ' 1)WS lìW^VJx DwV 



quindi gli integrali delle equazioni (1) e (2) si deducono gli uni dagli altri. 



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