in funzione di w e zar, resulta - — = - — , — — = — =• — — > onde: 



— 21(3 — 



« Se W e II sono funzioni coniugate, conio pure, io e zs, e se esprimiamo W e IT 

 a H — " i — 5" i — ^ * 



DWT ÌST D5T" ~ÒW 



« Questa forma sotto la quale possono porsi la (1) e la (V) è analoga a quella 

 delle equazioni differenziali che compariscono nella teoria del calore, ed è la più ap- 

 propriata e vantaggiosa per la integrazione. Così esse si integrano ogni qual volta è 

 rt — s 2 = cost., rt — s 2 = ap~\-bq-hc in cui a,b,c sono costanti ecc. È poi da pren- 

 dere iu particolare considerazione il caso in cui è rt — s*=(p(w)<p (w). 



« La equazione (1) si integra anche con facilità nel caso in cui la superfìcie z 

 è di secondo grado. Sono giunto a questo risultato partendo dall'integrale della 

 equazione differenziale delle superficie d' area minima mediante una trasformazione 

 di Legendre ('). La stessa equazione si integra nel caso in cui la superfìcie z è svi- 

 luppabile. 



« Veniamo, ora allo studio della equazione differenziale (1) o della più generale 



l'hu n ~òhu ± ~òhu 



"■ — s- — 2s H — » 



~òy l)xi>y ~òx l 



superfìcie sul piano xy (suppongo che questa proiezione copra una sola volta il 



~òhu _ Iho , .-&w 

 — s — 2s ■ -f- t — = 



~òy 2 ixiy ^x 1 



r — 2 — % s -^^,, ~\~ t '^7~T = f( 00 y)i co ^ me todo di Green. Chiamo a la proiezione della 



piano xy), c quella del contorno, n la normale a c; pongo r — 2s^— ^ + t 



= L'io ; r — s l 1 )~\-t — ! = A (iu , wt) . 



* ~ì>y ~<>y \i>® ~ì>y ~ì> x V ix ~òx b 



Nella ipotesi che le funzioni w e u>\ siano finite continue e monodrome si hanno 

 le formule: 



ff C 



-Jf A (uh io,) dxdy = -fiot | |) de - jjf A (u,j «*) 



Ti/ *• ^ \i j ri T/ ^> w 2 ~òw»\dy ì>w<i\dx~\ 



ff C 



_ w j( r ìitìi_ s ^yy+(t^-s^y^]\dxdy-, 



L\ D</ l>x ) dn \ ~òx -òy/dnj) J 



-j/A(, ltu ^:*=-ju,,(^t-^i)*-i!(--)^- 



ff C ff 



(') Sono dolente che non mi sia nota una Memoria del sig. Moutard relativa alla Teoria delle 

 equazioni differenziali a derivate parziali, i cui risultati sono stati recentemente applicati dal sig. 

 Darboux alla ricerca degli spostamenti di una superficie flessibile e inestendibile. 



