— 217 — 



«Se A 2 w»r— À 2 Wi=0 e zs\Qzs% sono le funzioni coniugate di w\ e vo* , si ottiene: 



z z 



jl A (wi w<ì) dxdy = — j*wi dc = — j*w% de 



V c c 



jj A (wi «'i) dxdy = — 



'ff c 



« Da queste formule si deducono immediatamente i teoremi: Se due funzioni 

 w\ e iv 2 , finite continue e monodrome insieme alle loro derivate, 

 che soddisfano alla equazione differenziale A t w = f{xy), (essendo la 



3 



superficie z a curvatura positiva o sviluppabile) hanno i medesimi valori 

 lungo una linea chiusa della superficie, sono eguali in tutti i 

 punti della superficie interni alla linea. 



«Se le funzioni coniugate alle w\ e w 2 hanno gli stessi valori 

 lungo una linea della superficie z,w y e w% non possono differire 

 che per una quantità costante. 



« Se fra tutte le funzioni monodrome finite continue insieme 

 alle derivate che lungo i punti del contorno di una superficie a 

 curvatura positiva z{xy) -hanno dati valori, ve ne è una per cui 

 (3) f{A(w i iv i )-{-2iv 1 f{xy)]dxdy è un minimo, questa soddisfa l'equa- 



'ff 3 



zione differenziale A 2 iu 1 = f{xy) e reciprocamente, se w\ soddisfa 



z 



l'equazione à?w\ = f(xy) essa è tale che f [A(w 1 w{)-h2w l f{xy)]dxdy 



z 0 z 



(se questa quantità è finita) risulta un minimo rispetto alle funzioni 

 che hanno al contorno gli stessi valori di w x . Questo teorema è analogo 

 al noto principio di Eiemann-Dirichlet. 



« Da questi teoremi si deduce che una funzione W\ che soddisfa l'equazione 

 A 2 w\ = f (xy) è definita quando ne sono noti i valori al contorno, se la superficie 



z 



è a curvatura positiva, e questi valori potranno scegliersi ad arbitrio purché siano 

 tali che non debba escludersi la possibilità della esistenza di un minimo dell' inte- 

 grale (3). 



« La funzione u> che soddisfa l'equazione A 2 w — 0, sarà pure definita all'infuori 



3 



di una costante addittiva quando saranno note al contorno i valori della funzione 

 coniugata sr, e anche tali valori con una limitazione analoga alla precedente potranno 

 scegliersi ad arbitrio. La determinazione della funzione w, quando sono dati i valori 

 di tv o di al contorno, ci viene fornita immediatamente per mezzo delle formule 

 scritte precedentemente. A tal fine, basterà determinare un integrale particolare 

 della equazione differenziale A 8 w> = 0 il quale divenga infinito in un punto della 



3 



superficie dello stesso ordine del logaritmo delle distanze a questo punto, ed 

 una funzione analoga alla nota funzione di Green che comparisce nella teoria 

 deile funzioni potenziali. — Quando al contorno siano dati i valori di w e 



