« Questa Nota contiene la costruzione generale dei gruppi transitivi a più di- 

 mensioni, isomorfi a un dato gruppo G che supporremo d'ordine u. 



« 1° Supponiamo che nell'interno di G esista una serie: 



(1) Gu,, Gt rj.fr GfX k 



di k sottogruppi di ordini: <m....u.,, e tali, che i due primi siano 

 fra loro permutabili e generino il gruppo G, il gruppo comune 

 ai due primi sia permutabile al terzo e generi con esso il gruppo 

 G, il gruppo comune ai tre primi permutabile al quarto e ge- 

 neri con esso G, e c. s. Potremo dalla serie (1) derivare un gruppo: 



( ui? ^'""ur)' transitivo ed isomorfo a G fra lettere, essendo § 

 l'ordine del gruppo comune a tutti i gruppi della serie. 



« In fatti , il gruppo potenziale di G , permuterà fra loro i periodi an- 

 tipotenziali di G«i, non che quelli di G u 2 ('). Ma essendo Ga, e Gu, permu- 

 tabili fra loro, si potrà operare sinteticamente con i periodi di Gai e di Gu 2 , 

 all'intento di dedurre dalle due accennate ripartizioni degli elementi del gruppo 

 potenziale di G in sistemi d' imprimitività, una nuova ripartizione (*). Quest'ul- 

 tima, sarà composta di un solo periodo (corrispondente al gruppo G), da che 

 Qfii e Guj generano l'intiero gruppo G. Segue, che due periodi appartenenti 

 risp. a Gfj.i e a Ga 2 , hanno comune un periodo ed un solo periodo del gruppo 

 A, ad essi comune. Similmente, poiché Aj è permutabile con Gw 3 ed entrambi 

 generano G, ira periodo di A, ha comune con un periodo di Ga 3 , un periodo ed 

 un solo periodo del gruppo comune a A, e a G,u 3 , vale a dire, del gruppo A 2 

 comune ai tre primi gruppi della serie (1). E perciò, tre periodi arbitrari appar- 

 tenenti a Ga : , G.y.2, Gu 3 risp., hanno comune un periodo del gruppo A 2 ed uno 

 solo. Così continuando, si giungerà a stabilire, che k periodi di Gu, , Ga>,.... G/j. /£ 

 risp., hanno comune un periodo ed un solo periodo del gruppo A k _i comune a 

 tutti i gruppi (1). Potremo adunque denotare con la lettera p affetta da k indici, 

 un periodo di A A _i. I successivi indici della lettera p, indicheranno i numeri d'or- 

 dine dei periodi di Gai, Gu 2 , Gu, ai quali appartiene il periodo di A,_, che 



si considera. E da quanto si è detto chiaramente apparisce, che ad ogni periodo di 

 A-_i corrispondono in un solo modo k successivi indici della lettera p , e vice- 

 versa, alla p affetta da k indici, un periodo ed un solo periodo di A._l Ed ora 

 applicando le sostituzioni del gruppo potenziale di G ai periodi antipotenziali di 

 A;,._i, potremo derivare un gruppo fra le p, transitivo ed isomorfo a G ( 3 ). Ma 

 poiché le sostituzioni del gruppo potenziale di G permutano fra loro i periodi di G«i , 

 Gu 2 , . ... G fXk (composti di periodi p), ogni sostituzione fra le p del gruppo iso- 

 morfo a G , trarrà seco una sostituzione fra i primi indici delle p denotante il modo 

 di permutarsi dei periodi di Gu,, una fra i secondi indici, corrispondente alla 



(') Veggasi la mia Memoria: / gruppi transitivi di sostituzioni dell' is lesso ordino e grado. 

 (H. Accademia dei Lincei, voi. XVIII, 1882-83). 



0 Veggasi la mia Memoria: Intorno ad alcune proposizioni della teoria delle sostituzioni 

 (R. Accademia dei Lincei, voi. XVIII, 1883-84). 



(') l 1 rattlni, / gruppi transitivi ecc., 1. c. 



