sostituzione che avviene fra i periodi di G,u 2 , e, c, s. Il gruppo isomorfo a G derivato 

 da A k _i, sarà adunque un gruppo: ^, - --jj » a fc ^ imeusioni ' e fra tante 



lettere quante ne esprime il numero dei periodi di , vale a dire fra ^ lettere. 



« 2° La costruzione precedente è la più generale dei gruppi 

 transitivi a k dimensioni isomorfi al gruppo dato. 



« Immaginiamo un gruppo Yak dimensioni isomorfo a G. Gli elementi del 

 gruppo che possiamo supporre rappresentati dalla lettera p affetta da k successivi 

 indici, non sono altro che nomi di periodi antipotenziali di un sottogruppo di G, (che 

 potremo chiamare A fc _i) , in quanto che una delle sostituzioni di T permuta fra 

 loro le p, come le sostituzioni del gruppo potenziale di G corrispondenti per 

 isomorfismo alla sostituzione di P, permutano fra loro i periodi di A ._, corrispon- 

 denti alle singole p ('). Formiamo ora un primo schema di orizzontali, ponendo 

 nella 1\ 2% 3 a , ... a" n orizzontale le p affette risp. dai numeri: 1, 2, 3,.... a 

 come primi indici. Poi un secondo schema, collocando le p affette dai numeri : 

 1, 2, 3,..& come secondi indici, nella l%2 a ,3\-« b"' a orizzontale, e c. s. Qua- 

 lunque sostituzione S di T, mentre permuterà fra loro le p, darà origine, per ipo- 

 tesi a certe sostituzioni fra i numeri : 1, 2, . . . a; 1, 2, .:. . b ; — 1, 2, ... s, primi, 

 secondi, .. ultimi indici delle p. Le sostituzioni del grappo antipotenziale di G, 

 le quali per isomorfismo corrispondono ad S, permuteranno adunque fra loro le 

 orizzontali di ogni schema, quando in esse s'imaginino surrogate le lettere p dai 

 corrispondenti periodi antipotenziali di Ajm. Le orizzontali di ogni schema così 

 modificate, ammettendo adunque le sostituzioni del gruppo potenziale di G , saranno 

 periodi antipotenziali di sottogruppi di G, che chiameremo: G/j.i, Ga 2 ,.. Gp. ('). 

 Ed ora, potendosi operare sinteticamente con i sistemi di periodi di Gut e di Gu 2 

 allo scopo di ottenere il sistema composto di tutti i periodi p, (perchè un dato pe- 

 riodo di Gai ad es. Va'" 0 ed un qualsivoglia periodo di Ga 2 ad es. il fi'" 0 hanno 

 comuni i periodi p K/ . ....), i gruppi Gu.i e Gu 2 saranno fra loro permutabili, e ge- 

 nereranno il gruppo' G. Similmente, e per una ragione analoga, il gruppo comune 

 a Gai e a Gpi 2 sarà permutabile con Ga 3 e genererà con esso il gruppo G. Così 

 continuando, ci persuadiamo che i gruppi : G/x, , Gu 2 , . . . Ga,, soggiacciono alle con- 

 dizioni che da principio abbiamo imposte ai gruppi della serie (1). 



« Dopo ciò, è evidente che il gruppo Y può essere derivato nel modo definito 

 dal Teorema del N. 1. 



« Corollario. Se avvenga che, considerando nell'interno di un 

 gruppo una serie di sottogruppi, i primi due, il gruppo comune 

 a questi e al terzo, il gruppo comune ai tre primi e al quarto 

 e, c, s, siano fra loro permutabili e generino il gruppo, lo stesso 

 avverrà qualunque sia l'ordine dei sottogruppi della serie. Che 

 anzi il gruppo potrà essere generato dal gruppo che è comune 

 a un certo numero di gruppi della serie, e da quello che è co- 



(') Frattini, / gruppi transitivi ecc., 1. c. 

 ( : ) Frattini, / gruppi transitivi ecc., 1- c. 



