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mune a quanti si vogliano rimanenti gruppi, e i due gruppi ge- 

 neratori saranno fra loro permutabili. 



« 3° Dato un gruppo a più dimensioni, se gli elementi del gruppo si assog- 

 gettino ad una sostituzione fra le dimensioni del gruppo, ed a simultanee sostitu- 

 zioni fra gli indici di ciascuna dimensione, per modo, che negli elementi si muti 

 l'ordine degli indici relativi alle varie dimensioni nel modo significato da una certa 

 sostituzione, e ai nuovi e successivi indici vengano nell'istesso tempo applicate 

 altrettante sostituzioni ordinatamente, corrispondenti alle dimensioni alle quali essi 

 appartenevano, otterremo il gruppo sotto un nuovo aspetto che diremo eguale al pri- 

 mitivo, essendo evidente che la struttura di un gruppo molteplice (ad es. di un 

 gruppo a due dimensioni), non si altera quando le linee o le colonne della matrice 

 del gruppo, o rimangano tali, o si mutino in colonne e linee, e avvenga o no una 

 sostituzione fra le linee, o fra le colonne, o fra quelle e queste insieme. Così: 

 l'aspetto del gruppo a più dimensioni che nasce da una serie (1), rimane il mede- 

 simo comunque si muti e l'ordine dei gruppi della serie, e quello dei loro periodi. 



« Teorema. Un gruppo transitivo è gruppo a più dimensioni in 

 tanti diversi aspetti, quante sono le distinte serie (1) in esso 

 contenute, e formate con gruppi, il comun gruppo dei quali sia 

 quello delle sostituzioni che non ispostano una lettera arbi- 

 traria. 



« Siano a, /3, ... le lettere del gruppo transitivo. Scriviamo in una linea i 

 nomi di quelle sostituzioni le quali ad a subordinano «, e formiamo così la linea Cu). 

 Poi in una linea (^3) i nomi di quelle sostituzioni che ad e subordinano j3 e, c, s 

 Le varie linee, saranno i periodi antipotenziali del gruppo (A) di quelle sostitu- 

 zioni, le quali non ispostano a. Le sostituzioni del gruppo potenziale relativo al 

 gruppo transitivo, permuteranno poi le linee («) , (/S) , . . come le corrispondenti del 

 gruppo dato permutano le lettere oc, /3,...('). Supponiamo ora che sia possibile con- 

 siderare il gruppo dato sotto un'aspetto di gruppo a più dimensioni, surrogando 

 le lettere del gruppo con la p affetta da indici, e i periodi (a) , (/?).. con i nomi 

 a più indici delle corrispondenti lettere, scritti entro parentesi. Formati gli schemi 

 •delle (p) affette dai successivi primi, secondi, terzi . . . indici, ai singoli schemi 

 corrisponderanno gruppi del gruppo transitivo, formanti una serie (1) composta di 

 gruppi contenenti (A). È così dimostrato che ad ogni aspetto di gruppo a più di- 

 mensioni il quale convenga al gruppo dato, corrisponde la nota derivazione del 

 medesimo da una certa serie (1) formata da gruppi contenenti (A) come gruppo 

 comune. Viceversa, abbiamo già mostrato come da una serie (1) di gruppi, conte- 

 nenti (A) come gruppo comune e contenuti nel gruppo dato, si possa derivare un 

 gruppo e un solo gruppo a più dimensioni fra i periodi (a) , (/3) . . . mutati in let- 

 tere a più indici. E questo gruppo, il quale coinciderà col dato, ci farà conoscere 

 il dato gruppo in aspetto, e in un solo aspetto di gruppo a più dimensioni. 



« Dato un gruppo a più dimensioni, si formino i soliti schemi con la p affetta 

 successivamente da tutti gl'indici per ogni e singola dimensione. Ogni schema ne darà 

 una ripartizione degli elementi in sistemi di imprimitività del gruppo. Se pertanto 



(') Prattiui, / grappi transitivi ecc., 1. c. 

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