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e dove nella f(x,y,z,..,u) consideriamo per un momento le x come delle 

 costanti, avremo in particolare 



|i ire i (i m \ 



(7) {ay b- .. 4) • f{x, y, s, .. , u) = H yz .. M | (a y b, .. 4) • f(x, y, «, .. , u)i 



poiché è facile riconoscere che, per a l -j- a z -J- •• -j- «„_ 2 = m -j- 1, si ha iden- 

 ticamente : 



/ u. m \ 



Ki ■■ D "r (fa ^ •• *«) • f(*> Vi *, •• , «) = o- 



Ciò posto, se 



(8) = «// (D yy , D«, .. , D MM ; D yx , , ...) 



è l'espressione di J come aggregato razionale intero, a coefficienti costanti, 

 delle operazioni elementari da cui dipende, e poniamo: 



(9) d' = xp (1 + D w , 1 + D, 2 , .. , 1 + D m( ; D yj , , ...) 

 si riconosce senza difficoltà che : 



4 .~K y z..u\(a y b- .. d u ).f(x, y,s,.., u)^=(a y b z ■■ d v ) . J' .H' yz .. u f(x,y ,s,..,u) 



onde, sostituendo ciò nella (7) e dividendo quindi entrambi i membri di 

 quell' identità per (a y b- .. d u ), si conclude : 



(10) y, s, .. , a) = J\ K r y: ..uf(%, y, *, , »>. 



« 3. Se ora applichiamo all' identità (5) l'operazione d' definita dalla (9) 

 e teniamo conto dell' identità (10), otteniamo la forinola 



(11) jtt/(l, y, *, = H a .,., ( /' /H-^l /+ J'J 2 T>x;f+"+J'J n -Vxuf 



che scriveremo più compendiosamente così: 



(11)' f(x,y,z,.,,u) = W+ D«, /+ •• + 4-! D* M /. 



« Ma se applichiamo a ciascuna delle forme T) xy f, D^/, ... (che sono 

 tutte di grado //. — 1 nella serie x) lo stesso procedimento tenuto per la /, 

 otterremo delle espressioni analoghe 



Da«/ /= ~H.xij.ai Qo • T)xy f~\- Qi Da-.v • D«y / "f" Qs • ~^&y /H f~Q"-i ^ • D-n// 



D M /= .„ Q' 0 .D a . s /+ Q'i D X y , Paw /+ Q'*D« . B xz f+ •• +Q'„_ 1 Do* . D«/ 



essendo sempre le Q certe operazioni di polare fra le x,y,..,u; le quali 

 espressioni sostituite nella (11)' ci daranno un risultato della forma: 



f(x, y, *, .. , u) = H <sy .. M </+^' )1 V>ly-f+ 4'h DL/+-+4j,m DL/ 

 +< t D M f 4. ^ Da- ( /' + - . 



