« Se M è ima curva imduttibile d'ordine m e genere p > 1 , il sistema 

 lineare co?- 1 costituito dalle curve d'ordine m — 3 aggiunte ad M presenta 

 uno dei due casi seguenti : 



1) o due curve generiche del sistema hanno solo un numero finito di 

 punti comuni, 



2) o tutte le curve del sistema hanno una parte comune. 



« Il sistema stesso, nel caso ] ) ; oppure il sistema che si ottiene facendo 

 astrazione dalla parte comune, nel caso 2), dicesi sistema aggiunto puro 

 ad M. Esso è oc? 5 - 1 , e la sua curva generica o è imduttibile, od è costituita 

 da p — 1 curve generiche di un fascio ($er un noto teorema del sig. Bertini 

 sui sistemi lineari riduttibili). 



« Il teorema che mette in luce l' importanza del sistema aggiunto puro 

 è il seguente : 



« Se una trasformazione bi razionale del piano muta la 

 curva M in una curva M*, la stessa trasformazione muterà 

 il sistema aggiunto puro ad M nel sistema aggiunto puro 

 a d M* ( 1 ). È chiaro che basta dimostrare il teorema per una trasformazione 

 quadratica; e tutto si riduce (v. le mie Ricerche 1. c.) a calcolare l'ordine 

 e le singolarità di M*, ed a confrontarle cogli analoghi caratteri della curva 

 in cui si trasforma una curva aggiunta pura ad M. 



« Veniamo ora al caso nostro. Una trasformazione birazionale T fra due 

 piani sovrapposti muti ogni punto della curva M in se stesso. Supponiamo 

 che M sia imduttibile, senza escludere che possano esistere altre curve di 

 punti uniti in T ; e supponiamo inoltre che il genere p di M superi 1. Allora 

 per il teorema fondamentale la trasformazione T dovrà mutare il sistema 

 aggiunto puro ad M in se stesso. Indichiamo con M' la curva generica di 

 questo sistema, se essa è imduttibile; oppure con M r la curva generica 

 di quel fascio di cui p — 1 curve costituiscono una curva aggiunta pura 

 ad M, se il sistema aggiunto puro è riduttibile: nell'uno e nell'altro caso 

 sia [M'] il sistema composto dalle curve M\ È chiaro (anche nel secondo 

 caso) che [M'] sarà mutato in sè stesso da T. 



« Ma si può dire di più: ogni curva di [M'J è mutata in sè stessa 

 da T. Infatti se la curva M' fosse mutata in un'altra curva del 

 sistema [M'] , le intersezioni di M ed M' situate fuori dei punti base 



(!) Il teorema riesce utile in tutte le ricerche sopra trasformazioni biraziouali che 

 mutano una curva, un sistema lineare . . . in sè stesso. Così il teorema permette di risol- 

 vere T importante questione della riduzione a tipi fondamentali delle trasformazioni invo- 

 lutorie del piano, questione studiata a fondo, ma non completamente esaurita da un ben 

 noto lavoro del sig. Bertini. Questo argomento mi propongo di trattare in seguito, a meno 

 che un lavoro del sig. Kantor (sulle trasformazioni cicliche) scritto già da qualche anno e 

 di prossima pubblicazione, non contenga la desiderata risposta, come qualche indizio lascie- 

 rebbe credere. 



