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di [M'] (intersezioni il cui numero è 2p — 2 o 2 secondo che la dimensione 

 di [M'J è p — 1 o 1) dovrebbero trovarsi anche su M\ e quindi sopra ogni 

 curva del fascio (M', M' r ), perchè esse intersezioni sono fisse in T. Ma allora 

 la curva del fascio stesso condotta per un punto generico di M, avrebbe con M 

 una intersezione di più di quello che consentano gli ordini m, m! di M, M', e 

 quindi dovrebbe contenere tutta la M ; ma ciò è impossibile perchè 



rrì — m — 3. 

 « Ora distingueremo tre casi. 



« I) M' sia razionale. Fissato un fascio di curve M', applichiamo al 

 nostro piano quella trasformazione birazionale 0 che è atta a mutare il 

 fascio di M' in un fascio di rette. La 0 muterà la trasformazione T in 

 un'altra T* che lascierà invariate le singole rette di un fascio. Dunque 

 la T* è una trasformazione Jonquières; e la T primitiva è riduttibile al 

 tipo Jonquières. La curva M è, in tal caso, iperellitica. 



« II) M' sia ellittica; a) ma per ora nè armonica, nè equianarmonica. 

 La corrispondenza (1 , 1) che la T determina sopra ogni M' ha certo qualche 

 punto unito, perchè M' incontra in qualche punto, fuori dei punti base, la 

 curva unita M. Dunque la corrispondenza (1,1), per note proprietà della 

 curva ellittica (*), è necessariamente una involuzione razionale. Dal che 

 segue subito che la trasformazione T è involutoria. E inoltre (indipendente- 

 mente dalle ricerche già fatte sulle corrispondenze involutorie) che la varietà 

 delle oo 2 coppie di punti coniugati in T è razionale; infatti ciascuna 

 curva M' contiene una serie razionale oo 1 di coppie, e tutte le oo 2 coppie 

 si ottengono (senza ripetizioni) quando si consideri un fascio di curve M' ; 

 sicché alla varietà delle oo 2 coppie si può applicare un noto teorema del 

 sig. Nother, secondo il quale è razionale una superficie (varietà oo 2 di punti), 

 la quale contenga un fascio razionale di curve razionali ( 2 ). 



« V) M' sia ellittica armonica. La corrispondenza (1 , 1) determinata 

 sopra di essa da T, o è involutoria razionale, e allora si ragioni come nel 

 caso a), oppure è ciclica di 4° grado (vale a dire i cicli si compongono di 

 4 pimti) con due punti uniti, i quali devono costituire le intersezioni varia- 

 bili di M ed M', sicché M in tal caso è iperellitica. La corrispondenza T 

 sarà adunque ciclica di 4° grado ; il suo quadrato sarà una corrispondenza 

 involutoria avente come uniti oltre ai punti di M , due punti sopra ogni M\ 

 i quali si corrispondono involutoriamente in T. 



« c) W sia ellittica equianarmonica. La corrispondenza (1,1) su M', 

 se è singolare (chè altrimenti si giungerebbe ai risultati di a)) non può avere 



(*) Per la teoria geometrica di siffatte corrispondenze si veda Segre, Le corrispon- 

 denze univoche sulle curve ellittiche. Atti dell'Acc. d. Scienze di Torino, voi. XXIV. 



( 2 ) Ueber Flàchen, welche Schaaren rationaler Curven besitzen. Mathem. Anna- 

 len, Bd. 3. 



