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un solo punto unito, perchè allora dovrebbe la M esser razionale contro V ipo- 

 tesi. Dunque quella corrispondenza avrà tre punti uniti e sarà ciclica di 

 3° grado. E in conseguenza la trasformazione T risulterà pure ciclica di 

 3° grado, e avrà come uniti i punti di M (due sopra ogni M', sicché 

 ancora M è iperellittica), ed un punto ulteriore sopra ogni M'. 



« III) M' abbia il genere p'.^>l; arriveremo alle stesse conchiusioni del 

 caso II), a). Consideriamo infatti il sistema aggiunto puro a M', il quale è 

 almeno co 1 . Definendo la curva M" rispetto ad M' nello stesso modo come 

 fu definita la M' rispetto ad M , vedremo subito che la T deve trasformare 

 il sistema delle M" in sè stesso, ed anzi (poiché l'ordine di M" è inferiore 

 ad m) ciascuna curva M" in sè stessa. Adunque le curve M" che passano 

 per un punto generico a di M' passano anche per il punto a* di M' che cor- 

 risponde ad a nella trasformazione T. Ora poiché la coppia a a* di M f pre- 

 senta una sola condizione ad ogni curva M" (quindi ad ogni curva d'ordine 

 to' — 3 aggiunta ad M') che debba contenerla, segue che M' è una curva iper- 

 ellittica e che a ed a* sono coniugati nella sua involuzione razionale g\. 

 Dunque di nuovo a ed a* si corrispondono involutoriamente, vale a dire la 

 trasformazione T è involutoria ; e di nuovo, (poiché le coppie di punti con- 

 iugati sopra una M' costituiscono una co 1 razionale) la varietà delle co 2 

 coppie di punti coniugati in T è razionale. 



« Sicché finalmente possiamo enunciare il teorema : 



«Se una trasformazione Cremoniana fra due piani so- 

 vrapposti muta in sè stesso ciascun punto di una curva ir- • 

 riduttibile M di genere superiore ad 1, la trasformazione o 

 è riduttibile al tipo Jonquières, oppure è ciclica di 2°, 3° 

 o 4° grado. 



« Se poi, nel caso delle trasformazioni cicliche di 2° grado (involutorie). 

 si approfitta, sia delle ricerche del sig. Bertini sulle trasformazioni involutorie 

 del piano ( 1 ), sia dei risultati ottenuti dal sig. Nòther sulle corrispon- 

 denze (1,2) fra due piani ( 2 ), si arriverà alla proposizione 



« Se ciascun punto di una curva piana ir riduttibile M 

 di genere superiore a 4 è mutato in sè stesso da una tra- 

 sformazione Cremoniana del piano, la curva M è iperellit- 

 tica; e la trasformazione è riduttibile al tipo Jonquières, 

 o (forse) è ciclica del 3° grado ». 



(!) Ricerche sulle trasformazioni univoche involutorie nel piano. Annali di Matema- 

 tica, serie 2 a , tomo Vili. 



(*) Ueher die ein-zweideutigen Ebenentransformationen. Sitzungsber. d. physik. me- 

 dichi. Societat zu Erlangen, 1878. 



