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Matematica. — Due proposizioni della teoria dei numeri e 

 loro interpretazione geometrica. Nota di Giovanni Trattini, pre- 

 sentata dal Socio Beltrami. 



« In iin recente mio lavoro ('), trattando la risoluzione dell'equazione 

 /-D/ = ±N ( 2 ) 

 in numeri interi, con metodo a mio credere nuovo, certamente diverso da 

 quello di Lagrange ( 3 ), riportato da Legendre nel tomo I della Théorie des nom- 

 bres ( 4 ), ho dimostrato i due teoremi seguenti, nella enunciazione dei quali 

 a e /? indicano i valori della x e della y in una soluzione qualsiasi del- 

 l'equazione 



— B?f = 1 , 



diversa dalla soluzione evidente (1, 0) dell'equazione medesima. 



« I. Intendendo per (k, h) una soluzione dell' equazione 



x 1 — T)if = N , (a) 

 scelta in tutti i modi possibili fra quelle nelle quali il va- 

 lore della y è minore di 



(e conseguentemente #<[a{/N), tutte le soluzioni intere e 

 positive dell'equazione sono date dalla formola 



^ + y|/D = (A + /it/D)(« + ^l/l)) m , (A) 

 ponendo in essa consecutivamente m = 0,1,2, ecc., ed egua- 

 gliando poscia le parti razionali dei due membri, nonché 

 i coefficienti di j/D. — Le soluzioni che così si ottengono cre- 

 scono ( 5 ) al crescere di m, e, per ogni p articolar valore di m, 

 al crescere della soluzione (k, h), entro i limiti assegnati alla 

 li e alla k. 



(') V. il « Periodico di Matematica pev l' insegnamento secondario " (Anno VI, fase. VI). 



( 2 ) In questa Nota le lettere significheranno sempre numeri interi e positivi. 



( 3 ) V. la Memoria: Sur la solution des problèmes indéterminés du second dégré. E 

 l'altra: Nouvelle méthode pour résoudre les problèmes indéterminés en nomhres entiers. 



( 4 ) Per ciò che riguarda i molti vantaggi pratici e teorici del primo metodo, dirò sol- 

 tanto che quello di Lagrange fu riconosciuto malagevole dallo stesso Autore, nella prefa- 

 zione alla seconda delle Memorie ricordate di sopra « a cagione del grande numero di 

 casi dei quali bisogna tener conto ». La nuova maniera evita tale molteplicità di casi: e 

 •ciò, oltre al facilitare la risoluzione pratica dei problemi, serve a rendere visibili molte 

 belle proprietà, che difficilmente si appaleserebbero in una men raccolta trattazione del- 

 l'argomento. 



( 5 ) Evidentemente x ed y crescono o diminuiscono insieme. Per rispetto ai valori 

 •della x e della y si avranno pertanto soluzioni maggiori e soluzioni minori. 



