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« IL Intendendo per (k, h) una soluzione dell'equazione 



x 2 — Df=— N , (b> 



scelta in tutti i modi possibili fra quelle nelle quali il va- 

 lore di y non supera 



/N(«-f-l) 

 V 2D 



^dal che segue che x non supera |/ ^" 0 — (')' tutte le so- 

 luzioni intere e positive dell'equazione sono date dalla 

 f o r m o 1 a 



x+y J/D — (± k -j- h |/D) (a H--/S j/D) m (B) 



ponendo in essa consecutivamente m = 0,1,2, ecc., ed egua- 

 gliando poscia le parti razionali dei due membri, nonché i 

 coefficienti di j/D. — Le soluzioni che così si ottengono cre- 

 scono al crescere di m, e, per ogni particolare valore di m, a 1 

 crescere del valore algebrico di =t k, entro i limiti ad essa 

 assegnati ( 3 ). 



« In questa Nota deduco dai teoremi precedenti due conseguenze nota- 

 bili, le quali ammettono una elegante interpretazione geometrica, che espongo 

 in fine. 



« 1. Chiamo (poìQo), (Pi^li)i (Pi, Qì) ecc. le successive soluzioni del- 

 l'equazione 



x 1 — % 2 = 1 ) (C) 

 e le suppongo disposte in ordine per ragion di grandezza, incominciando 

 dalla (1, 0). 



« Se per (a, /?) si sceglie la (pi, q^), la forinola (A) diviene: 



x-hy -{/!) = (k + h j/D) (p x -+- q i \/ì)) m . (D) 



( 1 ) Queste limitazioni, riferite alla sola soluzione minima dell'equazione x 2 — Diy 2 =l 

 (ma non le altre due § j/N ed et , nè le formole (B) ed (A) ) occorsero al sig. Tche- 

 bicheff in alcune ricerche riguardanti le forme quadratiche (V. la Memoria: Sur les for- 

 mes quadratiques nel «Journal de mathématiques pures et appliquées », 1851). Tuttavia la 

 loro importanza per rispetto alla risoluzione dell'equazione x 2 — D?/ 2 = =fcN non è avver- 

 tita dall'Autore. Nè poteva esserlo : e perchè le dette limitazioni sono insufficienti alla riso- 

 luzione dell'equazione x 2 — D?/ 2 = N, occorrendo considerare invece le due /SJ/n", a 

 come è detto nel teorema I : e perchè delle formole (B) ed (A) non si fa cenno nella Memoria, 

 dello Tchebicheff. 



( 2 ) Per m — 0 bisogna rifiutare il segno negativo davanti alla k. 



( 3 ) Quando il limite superiore assegnato alla h è valore della y esso stesso, la solu- 

 zione massima relativa ad un determinato valore m 1 di m è la stessa che la soluzione- 

 minima relativa al valore m,. •+- 1 di essa m, come osservai nel ricordato mio lavoro. Tutto- 

 il resto procede a seconda del teorema generale. 



