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Volendo applicare questa forinola alla risoluzione della (C), bisognerà, ponendo 

 mente alle limitazioni imposte dal teorema I alla h e alla k, fare in essa 

 k — 1, h = 0. Il secondo membro diverrà 



ed eguagliato a, pi-hqt ^D, darà tutte le soluzioni qi) della (C) ( 1 ). 

 Pertanto la (D) si potrà scrivere così: 



x + y fò={k-hh]/J)){p i + q i ]/T)). (E) 

 Per k ed h si dovranno intendere i valori di x e di y in soluzioni della (a) 

 per le quali si verificili la condizione h<Cqi yN. 

 « Relativamente alla (b) si avrà poi : 



^ + yf/D = (+£ + Aj/D)(^ + £if/D). (F) 



In questa forinola k ed h denoteranno i valori della x e della y in solu- 

 zioni della (b) per le quali si verifichi la condizione 



« Ed ora, per la miglior trattazione dell'argomento, occorre premettere 

 i due principi seguenti, facilmente verificabili. 



a) Un'eguaglianza o disuguaglianza della forma 



a-4-b |/D =2 j/N (p + q ) , 



qualora (a, b), (p, q) siano ordinatamente soluzioni dell'equazione %* — Dy 2 = N 

 e dell'altra x 2 — T>y 2 = 1, è equivalente al sistema delle due 



a%pf8\ b^qfW (3). 



( 1 ) Si ottiene così, come caso particolarissimo, la nota formola di risoluzione del- 

 l'equazione di Peli (V. p. es. Dirichlet, Vorlesungen ilber Zahlentheorie, § 85). 



( 2 ) Che dal combinare una soluzione dell'equazione x 2 — Dy 2 = ±~N con tutte quelle 

 della x 2 — Dy* = 1 nella maniera indicata dalle formole (E) ed (E) si derivino infinite 

 soluzioni della prima equazione, fu già osservato da Eulero : d'altra parte la regola di 

 Eulero era nota ai geometri Indiani da lunghissimo tempo (V. la Memoria di Chasles, 

 Sur les équations indéterminées du second degré nel « Journal de mathe'matiques pures 

 et appliquées ». 1837). Peraltro Eulero credette che per ottenere tutte le soluzioni dell'equa- 

 zione x 2 — D?/ 2 =±N bastasse combinarne una sola soluzione con tutte quelle della rela- 

 tiva equazione di Peli. Tale opinione è confutata nella prima delle due Memorie di La- 

 grange, citate di sopra. I teoremi I e II, dimostrati nel precedente mio lavoro, e le con- 

 seguenti formole (E) ed (F), dicono assai di più; perchè definiscono le soluzioni dell'equa- 

 zione x 2 — Dt/ 2 ==fcN che è necessario e su fidente combinare con quelle della relativa 

 equazione di Peli, e come la combinazione debba essere regolata, per rispetto ai segni 

 delle quantità k, h, p%, C[i , se si vogliono ottenere, senza ripetizione alcuna, tutte le solu- 

 zioni dell'equazione proposta. 



( 3 ) Per la verificazione basta osservare che una di queste due disuguaglianze è conse- 

 guenza dell'altra. 



