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b) Un' eguaglianza o disuguaglianza della forma 



qualora (a f , £'), (p, <?) siano ordinatamente soluzioni dell'equazione a; 2 — D?/ 2 = — N 

 e dell'altra x % — D# 2 = l, è equivalente al sistema delle due 



« 2. Esaminiamo la formola (E). Per i=Q essa fornisce quelle solu- 

 zioni dell'equazione x 2 — D?/ 2 = N, nelle quali ?/ < ^ ]/N. Sene dica l il 

 numero. — Per ì=l il secondo membro della (E) diviene 



Avendosi 



(&4-Aj/D) 2 ^N, 

 perchè k- — D/i 2 = N, esso non sarà minore di 



mentrecliè, per essere /i < q l j/N e conseguentemente k.<CpiyS, sarà mi- 

 nore di 



l/N O -+ ?1 t/D) 2 = "j/N Q» 2 4- ? 2 j/D). 

 « Segue, ricordando il principio a), che nelle soluzioni fornite dalla (E) 

 per ?'=1, i valori della y non sono minori di q x f/N , ma sono minori di 

 g 2 "|/N. D'altra parte, per il teorema I, essi sono fra loro diversi. Dunque 

 entro i limiti q x f/N e y s j/N della ?/ si troveranno A soluzioni dell'equazione 



t tf 2 — D<y 2 = N, tante quante se ne trovano fra 0 e q x j/N. E non di più: 

 perchè si dimostrerebbe similmente che le X soluzioni seguenti si trovano fra i 

 limiti q 2 j/N e q 3 j/N della ?/. E via così. — Di qui il teorema : 



« Se 0, q x , q 2 , ecc. sono i valori della y nelle successive 

 soluzioni intere e positive dell'equazione 



x * — D?/ 2 = l, 



la serie 



0, q, j/W, y.^N, ? 3 ^N, 



separa le soluzioni intere e positive dell'equazione 



d» — J)y- = N 



per modo, che il numero delle soluzioni nelle quali il valore 

 della y eguaglia o supera un qualunque numero della serie 

 ed è minore del seguente, è costante. 



(!) Per la verificazione basta osservare che una di queste due disuguaglianze è con 

 seguenza dell'altra. 



