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« 3. Veniamo alla formola (P). Per i = 0, rifiutato il segno — davanti 

 alla k, essa fornisce X' soluzioni dell'equazione x 2 — D?j 2 = — N: quelle 

 nelle quali y non supera 



2D 



e conseguentemente se non supera 



N(jp, — 1 ) 



« Per i — 1, dato alla k il segno negativo, il secondo membro della 

 formola diviene 



(—k + hl/p) fri + frfB). 



Ora, per essere 



fa <: ! ;/ 1) 



2D 

 e inoltre 



(—k~h h l/D) 2 < N, 

 perchè DA 2 — k 2 == N, si trova facilmente che 



(— k + h ]/D) + !/i f/D) è f/N -f-^l/D 



E che 



(— -+- À j/D) -|- ?1 |/D) ^ |/N -4- q 1 fp) = |/N Kp 2 -f-q t f.D. 



« Da ciò risulta, in grazia del principio b), che i X' valori di y relativi 

 ad i—1 e alla scelta del segno negativo per la k, sono compresi fra i limiti 



i / N(j?i-hl) t / N(jo 8 -4-l) 

 [/ 2D ' (/ 2D 



non esclusi i limiti stessi. — IX' valori di y relativi ad i =1 e alla scelta 

 del segno positivo per la k risulterebbero compresi tra i limiti 



\ 2D X 2D . 



E via così. — Dunque: 



« Se 1, pi, p 2 , ecc. sono i valori di x nelle successive so 

 luzioni intere e positive dell'equazione 



x 2 — D?/ 2 = l, 



la serie 



/ N(^h-1) ./N(^ 2 +l) 1 /N(^3+1) 

 °' 2D \\/ 2D % 2D ' 



separa le soluzioni intere e positive-deli' equazione 



x 2 — By 2 = — N 



Rendiconti. 1892, Vol. I, 1° Sem. 



