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per modo, che il numero delle soluzioni nelle quali il va- 

 io re della?/ è compreso fra due numeri consecutivi della 

 serie (inclusi questi) è costante. 



« 4. Per interpretare geometricamente i due teoremi testé dimostrati, ci 

 riferiremo ad un sistema di coordinate Cartesiane ortogonali, e immagineremo 

 il quadrante compreso dagli assi delle x e delle y positive diviso in quadrati 

 di lato eguale all'unità. Diremo inoltre nodi di un'equazione della forma 

 x 2 — Dy 2 =±N quei nodi della figura, le coordinate dei quali sono valori 

 della x e della y in soluzioni dell'equazione. Ferma restando D, il raggio che 

 parte dall'origine degli assi ed è inclinato all'asse delle x di un angolo avente per 

 tangente 1 : f/D (assintoto comune a tutte le iperbole x 2 — ~Dy 2 = r£ N) sepa- 

 rerà i nodi delle equazioni il cui secondo membro è positivo da quelli delle 

 equazioni il cui secondo membro è negativo. Lo chiameremo raggio UmiU 

 della rappresentazione. — Consideriamo l'equazione x 2 — Dy 2 = N. La condi- 

 zione y < ^-yN, relativa ad una qualunque delle sue soluzioni, equivale alla 



y.x^Lqi-.pi, 



come facilmente si può verificare. Il che significa che la tangente dell'ano- 

 malia del punto (x, y) è maggiore della tangente dell'anomalia del punto 

 (ih, qì) (e conseguentemente la prima anomalia maggiore della seconda), se 

 y^> Qi j/N; che la prima anomalia è minore della seconda o uguale ad essa, 

 secondochè y < Qì f/N oppure y = qi j/N. Pertanto il teorema dimostrato nel 

 n. 2, geometricamente tradotto, diverrà : 



« I vettori delle successive soluzioni dell'equazione 



x 2 -J)y 2 = l (') 



dividono ( 2 ) l'angolo compreso dall'asse delle x positive e 

 dal raggio limite in angoli consecutivi, ciascuno dei quali 

 contiene un egual numero di nodi dell'equazione 



"5. Chiameremo punti nodali dell'equazione x 2 — D^ 2 = — 1 i punti 

 di coordinate p 0 — 1 , q 0 ; p x — 1, q x ; p 2 — 1, ; ecc. Questi punti e i rela- 

 tivi vettori esistono evidentemente, anche quando l'equazione x 2 — D# 2 = — 1 

 è impossibile in numeri interi. Se poi l'equazione è possibile, il sistema dei 

 vettori dei punti nodali comprende il sistema dei vettori di tutti i nodi del- 

 l'equazione. Detta infatti (r, s) una soluzione della x 2 — Dy 2 = — 1, sup- 



0) Per vettore di una soluzione intendasi il vettore del relativo nodo. 



(*) Che si tratti d'una divisione propriamente detta, si dimostra osservando che il 

 rapporto Qi'.pi cresce al crescere della soluzione (pi , gì), a cagióne della relazione p? — D?» 2 — 1. 

 •Conseguentemente le anomalie dei punti (p 0 ,qo), (j>i , <7i) ecc. vanno crescendo. 



( 3 ) Il primo lato di ciascun angolo dev'essere compreso ed il secondo escluso. 



