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dove K è una funzione dei quattro argomenti £, q, £, r (che deve supporsi, 

 colla sua derivata prima rispetto ad r, monodroma, continua, finita e deri- 

 vabile). Si ottiene infatti: 



U= jK(?,, ? ,£,r)^. 



cosicché la quantità U si presenta ora sotto la forma d'una funzione poten- 

 ziale molto più generale della newtoniana, mentre la seconda equazione porge, 

 per tale funzione, un teorema analogo a quello di Laplace-Poisson 



« Suppongasi ora che la quantità qui designata con K provenga da una 

 funzione k (£, r n £, delle quattro variabili £, ?/, £, £ col sostituire il binomio 



^ — — al posto di t. In tal caso la detta quantità K soddisfa all'equazione 



^ 2 K „VK 



cosicché si può scrivere: 

 ossia 



1 ^) 2 U 



Ne risulta che la funzione U di x, y, 2 e t, definita dall'espressione : 



( 4) 



soddisfa in tutto le spazio all'equazione : 



~? 2 TJ ( ) 

 — = a - ^ 2 U -t- (<r) & (a?, y, 0 j ' 



o meglio all'equazione 

 ( 4 )« — t = a 



1>P 



fi J 2 U -f- 4/r/j (x, y, t) | 



dove alla funzione k s' intende attribuito il valor ^ero in ogni punto esterno 

 allo spazio S. 



(!) Cfr. la mia Memoria Intorno ad alcuni problemi di propagazione del calore 

 (E. Accademia di Bologna, 1887), ove questo teorema è stabilito, con altro procedimento, 

 in una forma meno generale. Cfr. anche, per le successive forinole (4), (4)«, la Theory 

 of Sound di Lord Eayleigh, t. II, p. 92. 



