— 116 — 



Matematica. — Sulla risoluzione della congruenza x l = c 

 (moàp x ). Nota del prof. A. Tonelli, presentata dal Socio V. Cerrutj. 



« È noto che, riconosciuta possibile la congruenza 



(1) x 2 = c (rnod j?-) 



non si possiede alcuna espressione atta a rappresentarne le radici per ogni 

 valore di p primo dispari. Infatti quando p è della forma 8 h -j- 1 , anche 

 se X = 1 , è duopo ricorrere al tentativo calcolando i numeri 



c, c-\-p, c-{-2p, ... , c + rp, ... 

 fin tanto che non se ne sia trovato uno che è quadrato perfetto. Per X^> 1 

 poi si conoscono dei metodi mediante i quali si può risolvere la (1) quando 

 sieno note le radici della congruenza 



(2) ?/ 2 = f(mod^) 



e ciò sia direttamente, sia risolvendo successivamente delle congruenze come 

 la (1), nelle quali A = 1 , 2 , 4 ... . In ogni caso però non si assegna mai 

 una formula risolutiva della (1). 



« In questa Nota io mi propongo di dare una espressione unica atta a 

 rappresentare le radici della (1) qualunque sia la forma del numero primo 

 dispari p , e qualunque sia il valore di X . La formula cui io giungo ha cer- 

 tamente un interesse più teorico che pratico ; ma, per la sua generalità, può 

 essere utile in qualche ricerca speciale. Infatti servendomi di questa formula 

 io giungo ad ottenere una espressione diretta delle radici della (1) per mezzo 

 di quelle della (2). 



« 1. Qualunque sia p primo dispari, potrà sempre porsi sotto la forma 



p = 2 S a -4- 1 



con s "> 1 e « dispari, non avendo nissima importanza il caso di p — 1. 

 Avremo allora 



(f, (pi) =p) x ~ l {P — 1) = 2 S ap?- 1 — 2 S y 

 con y dispari; e, poiché supponiamo che la (1) sia possibile, dovrà essere 



e 2 "" 1 ! = 1 (mod^ x ) . 

 Allora se s ^> 1 , ricordando che p è dispari, sarà pure 



(3) c- 2S-2 T = =±= 1 (moàp x ) . 



Sia g un non residuo di p e quindi di p x , e si designi con e 0 un numero 

 che assumeremo uguale a aero se nella (3) si ha il segno superiore (-(-) , 

 uguale ad uno se si ha il segno inferiore ( — ) : allora potremo scrivere la 

 congruenza 



(f lVo = c T s±l (mody-) 



