— 120 — 



per cui 



p'- — 



pX—i a + 1 pX -pX—i 4 / p-^i \ 4 



x=±c 2 (c a -f- 3)^~' a = + c V 4 + 3/ (mod p x ) 



rappresenterà le radici della (1) quando p — 4« -]- 1 = Sk -j- 5 . 

 « 5. Riprendendo la formula generale 



pX— t a+1 



sb = ì±zc 2 ^ atT (mod;j x ) 



vediamo se essa non possa esser di qualche utilità anche quando per la 

 soluzione della (1) sia necessario ricorrere ai tentativi. Il massimo valore 

 che possa assumere e è 2 S_1 — 1, per cui il massimo numero delle prove 

 che dovrebbero eseguirsi per trovare il valore di a corrispondente alle 



m 2 (( 1 



radici della (1) sarebbe 2 S_1 — 1 — J — . Questo numero, quando 



Zoe 



«^>1, è più piccolo del numero possibile delle prove da farsi quando per 

 risolvere la (2) si dovessero calcolare i numeri 



„ e-ifap, e-\-2p, ... 



o per risolvere la (1) si dovessero calcolare i numeri 



c , c -\-p x , c -J- 2 p k , ... 



per verificare quale di essi è un quadrato perfetto. 



« Si vede che il numero delle prove possibili per determinare a dipende 

 solo da p , ed è indipendente quindi da c e da X . Così per p 8 a -f- 1 

 ed a dispari il numero delle prove per determinare e non può mai superare 3. 



« Inoltre, poiché cr non dipende da X , per determinarne il valore basterà 

 vedere quando si ha 



c a+1 g 2aG ~c (moip) 



ovvero 



c x gì*a _ i (modjj) . 



Si calcolino allora i residui 



c a = a (mod p) 

 g 2a = b (mod j;) 



in seguito basterà vedere quale dei numeri 



a , ab , ab 2 , ... 

 abbia per residuo uno rispetto al modulo p , e trovato 



ab n =l (mod p) 



sarà determinato e che può prendersi uguale a k. Si vede che in questo modo 

 le operazioni da farsi, dopo calcolati a e b, sono uniformi e più semplici che 

 non delle estrazioni di radici ». 



