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« Viene da ciò che nel simbolo operatorio S ? la quantità q si comporta 

 come un esponente. In particolare, S 0 J = J, il che si può indicare simbo- 

 licamente con S 0 = 1 ; e se una forma J x si deduce da J mediante la S p , J 

 si ottiene da Ji mediante la S_ 0 5 cioè Ss S_(j 1. 



a 3. Consideriamo ora l'equazione J = 0. Essa è regolare ed ammette 

 p -j- 1 pimti singolari, che sono le radici di 0 ed il punto t — cc; la 

 diremo equazione normale deljo' ,no ordine. L'equazione trasformata da questa 

 per mezzo dell'operazione S P è pure regolare ed ha i medesimi punti singo- 

 lari ; ora dico che l' integrazione di una delle equazioni J = 0 , S ? J = 0 

 porta con se quella dell'altra. Sia infatti <f (t) un integrale della J = 0, 

 sia poi A una linea d' integrazione tale che se è aperta, <f (t) e le sue prime 

 p derivate si annullino alle sue estremità, e se è chiusa, (f(t) riprenda lo 

 stesso valore quando la variabile dopo di avere percorsa la linea A torna al 

 punto di partenza. Sia x un valore il cui punto rappresentativo non è sulla 

 linea A se aperta, e non è sulla linea A nè nel suo interno se chiusa. 

 Posto allora 



(2) y, (*) = ^ * W dt 



) x it — x)t 



si moltiplichi l'identità 



(t—xf v , (t—x) 



per <p M (t) (t — x)-?' 1 dt e si integri lungo A, applicando l' integrazione per 

 parti: si giunge così senza difficoltà alla forinola: 



Jx V-*) 9 

 onde 



~* J(f (t)dt 



SoJ, 



Jx {t-x)^ 



« Se dunque y è integrale dell'equazione J = 0, la ip, trasformata di f 

 secondo la formola di trasformazione (2), sarà integrale dell'equazione S p z/=0." 

 L'integrazione di un' equazione differenziale lineare omo- 

 genea, regolare, normale J = 0 , porta dunque con sè l'inte- 

 grazione di tutte le equazioni comprese nella forinola S ? ^—0 

 per qualunque valore di q. 



« Questo principio si presta a notevoli applicazioni, come vedremo più 

 sotto. Giova notare come le proprietà S P S_ P = 1 permetta d' invertire subito 

 l'integrale definito (2) 



Q) Alla trasformazione funzionale (2) si potrebbe dare il nome di trasformazione di 

 Pochhammer, per l'uso che ne fa questo Autore nello studio delle equazioni ipergeome- 

 triche generalizzate con due punti singolari. (J. di Creile, t. CU). 



