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a 4. Sia a uno dei punti singolari dell'equazione 4 = 0 , e sia esso una 

 radice dell'ordine h di multi plicità dell'equazione f p = 0. L'equazione deter- 

 minante corrispondente, che ammette come radici gli esponenti r di dirama- 

 zione dell'equazione J = 0 nel punto «, è 



(3) fr - * + ^ (a) + -p + ^ + ... _[_ fp _ h (a) = 0 . 



se ora si forma l'equazione determinante relativa allo stesso punto a per 

 l'equazione S ? J = 0 , si trova in modo semplicissimo che essa si può scrivere 



jjMVi + ^ («)H-( r |j;-?+ *)/£?' + - + <«)= o, 



e quindi le sue radici differiscono da quelle della (3) per la quantità fìssa 

 — q. Un analogo risultato si ha dalla equazione determinante relativa al 

 punto l = co; onde risulta che dal gruppo dell'equazione J = 0 si deduce 

 facilmente quello dell'equazione S ? J = 0, e quando q è un numero intero, 

 le due equazioni hanno uguale gruppo, cioè sono della stessa specie. Segue 

 da ciò e da noti teoremi sulle equazioni della stessa specie, che jt? -f- 1 in- 

 tegrali qualunque delle equazioni 



....Sp_, J = 0 , S ? J = 0, Sp-M J = 0 , ... S f+ , ^ = 0 , ... 

 sono legati da una relazione lineare a coefficienti razionali. 



« 5. Applicazioni. I. L'equazione normale del second'ordine è 



(«0 + «1 t + «2 **) + (#0 + &1 *) (p'+ C(p = 0. 



Applicando la trasformazione S ? , si ottiene l'equazione trasformata: 

 («„ -\- ai t-{-a 2 r-) + (b 0 + qa, + + 2qa 2 ) t) ip' + 

 + (c + tb l -+ 1 g(Q — l)at)y> = 0. 

 Determino q in modo che sia 



Co + #i e + «2 ? (e — i) = o, 



ed ottengo ^ come integrale dell'equazione del prim' ordine 



(a 0 + a, t + a, f 2 ) e' + (é 0 + ?«i + (*i + 2o« 2 ) = 0 ; 

 questa si può integrare, e si ha quindi <p dalla formola 



f xp (t) dt _ J_ C d(t)dt 



È in ciò che consiste essenzialmente l'integrazione dell'equazione ipergeome- 

 trica di Gauss per mezzo di integrali definiti. 



« II. Se nella J si ha f p - 2 = f p - 3 = ■••■■ = /ò = 0 , talché 



