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« In ognuno di questi due casi si tratterà di determinare, mercè le con- 

 dizioni ai limiti, le funzioni incognite T , Z , T . 



« 2. Cominciamo dal primo problema. Per r — - 1 si ha : 



1 Ur n* — 2aS _ 1 1>Y 7>N 



* rT - 7)r + 2«« W ' Me " sentì i<p ~ h ~ 750 ' ( 



sen 0 z<!co — sen 6» • \ 



7)tì ~ò(p 1 



Le F r , m , ^9 sono funzioni, arbitrariamente date, di y> e di tì . Si ponga : 



U = Z — 4- G . 

 4 



La funzione U sarà finita continua e ad un sol valore e soddisferà la J 2 = 0 ; 

 le due ultime equazioni (1 assumeranno la forma : 



m = — — —^ + -^7- ; sen tì = sen 0 — - -+- — — ■ (2 



sen 0 7)</> Titì ' Dtì 7)<p 



Sostituendo nella espressione di F r ad u r e 0 i loro valori e riflettendo che 

 il secondo membro deve essere calcolato per r=l, si trova : 



3PJ— 2oS ( « , , - 1( 2 ^G , , 7>Gr , , Q 



F r = — ^ttì — r — hX -+-r 2 — — — - r 2 — T + 4r — h 2G . (3 



2 J2 2 ( 7>y ) 7) r 2 4( 7) r 2 Dr ) 



Tra le equazioni (2 eliminiamo successivamente U ed Y. Otterremo: 



1 ( ^ t a \ 1 ~* ( a ^ Y \ , 1 ^ 2 Y 

 • (sen tì Ua) — ì = S sen tì 1 + — • 



sentì (Titì 9 ~òy ) sentì 7)0 \ 7)0 ) sen 2 0 7> 



Ma la Y soddisfa la a 2 == 0 ; cioè : 



7> ( 2 Tv? \ 1 f '/ a !>Tf , 1 T 2 Y A 



però l'equazione cui soddisfa T potrà scriversi : 

 dove : 



7) / , T)Y 



A s - — — — (sen tì Uu) \ (5 



sen tì ( Tg> Titì Y/ ) v 



è una funzione nota di tì e y per tutti i punti della superficie sferica limite. 

 D'altra parte se V è una funzione che in tutta la sfera soddisfa la é" 1 = 0 

 ed in superficie prende valori dati ad arbitrio V s , sarà : 



Y s ds 



Y = —^-\-^- dove e = ]/{a'-xy^{y'-yf^{z-^; 



1s S 



x , y' ', / indicano le coordinate ortogonali di un punto variabile sulla 

 superficie sferica ; x ,y ,z quelle di un punto scelto a piacere, ma fisso, nel- 

 l' interno della sfera e V il valore della funzione in quel punto. 



