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L'equazione : 



j 3 + X \ H- r-- 3g - ì i + 4,^+20 \ = F,+ 2,- ^ 



2 G 2 ( 7>r ) ~5r 2 4 ( D r 2 Dr ) Tir 



varrà in tutta la sfera e, tenendo presente le espressioni di X . Z , G , potrà 

 facilmente essere trasformata in una equazione differenziale lineare del secondo 

 ordine in T ; e precisamente : 



Il secondo membro può essere posto sotto forma più simmetrica osservando che: 

 ir \ ir ) ir 



e però posto : 



risulterà successivamente : 



r w =B , ^ ,. ! 2!u =Bi+2 ,ib,_ 2 ( b , +27 . 2 f 1 ) 



"ir Dr 2 7>r" ( Dr ) 



Se quindi definiamo ima nuova funzione K tale che : 



K = F 1 + 2 B\ — B, 

 sarà z/ 2 K = 0 e l'equazione (9, ove si faccia: 



£ = logr ; T = S + 2r— (10 



Tir 



si trasformerà nella : 



D 2 S , fl» — 4«» -aS , 3fl 2 -4„r 



Questa equazione differenziale lineare del 2° ordine a coefficienti costanti, 

 s' integrerà con metodi noti. Posto : 



A or — PS , 123 Ji 4 — 24 i;! 2 w 2 — 16 « 4 

 ° = 4 & 5 ' = 4^ 



se «<[0, jff è reale e quindi, accennando ora con e l'ordinaria base dei 

 logaritmi neperiani : 



S = — 2 K (e^ a ) S6D P- e™ do + r a (c, cos pi 4- c 2 sen 



t_y — oo 



in cui Ci e c 2 sono funzioni arbitrarie dei due angoli 6 e (p ; e affinchè S sia 

 finita anche per r = 0 occorre che : <? x — c 2 == 0 . 



o ^ n nn v 1/16 w 4 -i-24XJ 2 « s — 23i? . 



6 oe poi a >• 0 , allora fi = J —— e reale e in 



4£ 4 



tal caso sarà : 



/-iO 



S = — 2 K Sh f ° e™ da + r* (e, Ch # + c 2 Sh 



