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essendo 



8H-5J/2 " 



*" 16 



ed infine 



(3) k = 2nySa\Ì-^- 



( 2 3/4 1 — A 8 sen*y) 



s 1 ~' >/2 



essendo £ la soprascritta funzione di y>, che si può anche scrivere così 



2 j/2 



* = (H-j/2)- r 



cos (/) 



« Da ciò si vede che sviluppando si avranno tanti integrali della forma : 

 dcp ( dcp 



(1 — cos cpf \/l — li 1 sen 2 cp J (1 cos cpf Jcp ' 



h= 0,1, 2, 3, 4, 5. 



« Per ridurre ciascuno di questi integrali in integrali normali, comincio 

 coli' esprimere il fratto 1/(1 — cos cp) h mediante somme di fratti delle forme 

 A/sen 2,l <p e B cos cp /sen 2 " cp, essendo A e B dei numeri interi. 



« Abbasso poi il grado n negli integrali fd<p/sen 2n cpJcp coll'aiuto della 

 forinola : 



( dcp 1 { cos cp Jcp 



1 sen 2 ' 1 cp Jcp 2n — 1( sen 2n_1 (p 

 -f- (2».^ 2) (! + *•) f— - -(2^-3)^ ( 



sen 2,l ~ 2 cp Jcp I sen 2 " -4 ^ ^<j> ) ' 



e così abbassando successivamente non restano più che integrali delle due 

 forme : 



Jdcp f sen 2 cp d(f 

 ^ 6 J ^ 



cioè integrali ellittici di prima e di seconda specie. 



« Gli altri integrali della forma f cos cp dcp / sen 2 " cp Jcp sono algebrici e 

 si risolvono coll'aiuto della formola: 



J cos cp dcp Jcp ( 1 2n — 2 1 



sen 2n cp.i(p ' (2n — 1) ^sen 2 " -1 cp 2n — 3sen 2H-3 </> 



, (2a -2)(2a-4)...2 _M 



(2« — 3) (2# — 5) ... 1 sen cp) 



