M û s x 



idem , de îa quinte* * ..***..... n : i. 



Idem , de la quarte , 2 : n. 



Rapport de l'intervalle qui vient de quinte, n r . %** 



Idem , de l'intervalle qui vient de quarte , 2 S . n 1 '. 



r. Nombre de quintes ou dequartesde l'intervalle. 



{. Nombre d'oclaves combinées de l'intervalle. 



t. Nombre de femi-tons de l'intervalle. 



x. Gradation diatonique de l'intervalle , c'eft-à- 

 dire , nombre des fécondes diatoniques ma- 

 jeures & mineures de l'intervalle. 



5c. -f- 1. Gradation des termes d'où l'intervalle tire 

 fon nom. 



Le premier cas de chaque formule a lieu, lorfque 

 l'intervalle vient de quintes. 



Le fécond cas de chaque formule a lieu , lorfque 

 l'intervalle vient de quartes. 



Les noms de chacune des douze touches du cla- 

 vier que cette fig. repréfente font : 



ut de re ma mi fa fi fol be la fa Ji. 



Tout intervalle eft formé par la progreffion de 

 quintes ou par celle de quartes , ramenées à l'o&a- 

 ve. Par exemple , l'intervalle Ji ut eft formé par cette 

 progreffion de 5 quartes fi mi la re fol ut, ou par 

 cette progreffion de 7 quintes fi fi de be ma fa fa 

 ut. De même l'intervalle fa la eft formé par cette 

 progreffion de 4 quintes fa ut fol re la , ou par 

 cette progreffion de 8 quartes fa fa ma be de fi fi 

 mi la. 



De ce que le rapport de tout intervalle qui vient 

 de quintes efl ri : z s , &que celui qui vient de quar- 

 tes eft z % . ri. il s'enfuit qu'on a pour le rapport de 

 l'intervalle fi ut , quand il vient de quartes , cette 

 proportion z s . nï. \ \ : n). Et fi l'intervalle fi ut 

 vient de quintes , on a cette proportion n* ■ x s • : 

 7z7 : «v*. Voici comment on prouve cette analogie. 

 Le nombre de quartes d'où vient l'intervalle fi ut, 

 étant de 5 , le rapport de cet intervalle eft de 2. 5 : 

 ri , puifque le rapport de la quarte eft z : n. Mais ce 

 rapport 2> : ri. défigneroit un intervalle de 2 5 femi- 

 tons , puifque chaque quarte a 5 femi-tons , & que 

 cet intervalle a 5 quartes. Ainli , Pottave n'ayant 

 que 12 femi-tons , l'intervalle fi ut pafferoit 2 octa- 

 ves. Donc pour que l'intervalle fi ut foit moindre 

 que l'otlave , il faudroit diminuer ce rapport 2* : ri , 

 de deux o&aves , c'eft-à-dire , du rapport de z": 1. 

 ce qui fe fait par un rapport compofé du rapport di- 

 recl: z> 1 ri , & du rapport / : 2 a inverfe de celui 

 a* : / , en cette forte ; z 7 x / : ri x 2 2 : : 2' : 2- ri 

 : : z 3 ri. Or l'intervalle fi ut venant de quartes, fon 

 rapport, comme il a été dit ci-devant, eft 2 5 ri. 

 Donc z s ri :: 2 3 : ri. Donc s=^j , & r~ 5. Ainfi* 

 réduifant les lettres du fécond cas de chaque 

 formule aux nombres correfpondans, on a pour 

 C, 7s — 4r —x 21 — 20 —1=0, Se pour D , 

 7 x- 4 t-s=7-4 r 3=o. 



Lorfque le même intervalle fi ut vient de quin- 

 tes, il donne cette proportion riiz s : Irii 2 4 . Ainfi, 

 l'on ar = 7,s = 4, & par confequent , pour A de 

 la première formule, I2 S — j v — 2 = 48— 49+1 = 0. 

 & pour B, i2X— 5t + r= ii— -5— 7 = 0. De 

 même l'intervalle fa la venant de quintes , donné 

 cette proportion ri:z s ; : : z 1 , & par conféquent 

 on ar=4&s=2,Le même intervalle venant de 

 quartes, donne cette proportion z s : ri; : 2 5 , ri, &c. 

 Il feroit trop long d'expliquer ici comment on peut 

 trouver les rapports & tout ce qui regarde les in- 

 tervalles par le moyen des formules. Ce fera met- 

 tre un lecteur attentif fur la route que de lui donner 

 les valeurs de n & de fes puiflances. 



Valeurs des puiffances de n. 



n 4 22 5 , c'eft un fait d'expérience. Donc n % s= 2 5 

 /z ,2 = 125, &c. 



Q U L i 

 Valeurs précifes des trots premières puiffances di tU 



V tleurs approchées des trois premières puifanceS de Ûî 



Donc le rapport! , qu'on a cru jufqu'ici être celui 

 de la quinte jufte , n'eft qu'un rapport d'approxima- 

 tion , & donne une quinte trop forte , tk de-là le' 

 véritable principe du tempérament qu'on ne peut 

 appeller ainfi que par abus * puifque la quinte doit' 

 être foible pour être jufte* 



Remarques fur les intervalle*. 



Un intervalle d'un nombre donné de femi-tons } 

 a toujours deux rapports différens ; l'un comme ve- 

 nant de quintes , & l'autre comme venant de quar- 

 tes. La fomme des deux valeurs de r dans ces deux 

 rapports égale 12, & la fomme des deux valeurs 

 de s égale 7. Celui des deux rapports de quintes ou 

 de quartes , dans lequel r eft le plus petit * eft l'in- 

 tervalle diatonique , l'autre eft l'intervalle chroma- 

 tique. Ainfi l'intervalle fi ut , qui a ces deux rap- 

 ports zl : ri ikri ,z 4 t eft un intervalle diatonique* 

 comme venant de quartes , & fon rapport eft 2 3 : ri ; 

 mais ce même intervalle fi ut eft chromatique com- 

 me venant de quintes , & fon rapport eft ri : 2 4 j 

 parce que dans le premier cas r = ^ eft moindre que 

 r== 7 du fécond cas. Au contraire l'intervalle fa la * 

 qui a ces deux rapports : 2* & 2' : ri ^ eft diatoni- 

 que dans le premier cas où il vient de quintes , ÔÊ 

 chromatique dans le fécond où il vient de quartes. 



L'intervalle/ ut, diatonique^ eft une féconde min; 

 l'intervalle fi ut , chromatique , Ou plutôt l'inter- 

 valle / fi % ( car alors ut eft pris pour fi% ) eft un 

 unilîbn fuperflu. L'intervalle fa la , diatonique eft 

 une tierce majeure ; l'intervalle fa la chromatique ^ 

 ou plutôt l'intervalle mi %la,( car alors fa eft pris 

 S comme mi ) eft une quarte diminuée , ainfi des 

 j autres. Il eft évident i°. qu'à chaque intervalle dia- 

 j tonique correfpond un intervalle chromatique d'un 

 même nombre de femi-tons & vice versa. Ces deux 

 intervalles de même nombre de femi-tons , l'un dia- 

 tonique, l'autre chromatique, font appelles inter- 

 valles correfpondans. 2 0 . Que quand îa valeur de r 

 eft égale à un de ces nombres 1, 2,3,4, 5,6^ 

 l'intervalle eft diatonique , foit que cet intervalle 

 vienne de quintes ou de quartes ; mais que fi r eft 

 égal à un de ces nombres, 6 > 7, 8 , 9 , îo, 1 î , 12 * 

 l'intervalle eft chromatique. 3 0 . Que lorfque r == G y 

 l'intervalle eft en même tems diatonique & chroma- 

 tique , foit qu'il vienne de quintes ou de quartes i 

 teis font les deux intervalles fa fi, appeliés triton i 

 81 fi fa appeliés fauffe quinte , le triton fa y? eft dans 

 le rapport n 6 : z>. & vient de fix quintes ; la faufté 

 quinte fi fa eft dans le rapport 2 4 : n 6 . &-vient dé 

 fix quartes , où l'on voit que dans les deux cas on a 

 r— 6. Ainfi le triton, comme intervalle diatonique, 

 eft une quarte majeure , & comme intervalle chro- 

 matique une quarte fuperflue : la fauffe quinte fifa$ 

 comme intervalle diatonique, eft une quinte mi-» 

 neure, comme intervalle chromatique* une quinte 

 diminuée. Il n'y a que ces deux intervalles & leurs 

 répliques qui foient dans le cas d'être en même tems 

 diatoniques & chromatiques. 



Les intervalles diatoniques dé même nom* ô£ 

 conféquemment de même gradation -, fe divifent 

 en majeurs & en mineurs. Les intervalles chro* 

 manques fe divifent en diminués êc fuperflu s, À 



