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~ = j oo ; Se repréfenteront les fons de l'exemple 

 Q (même 



Or cette dernière férié , qui n'a point d'homolo- 

 gue dans les divilions du diamètre, & fans laquelle 

 on ne fauroit pourtant completter le fyftème har- 

 monique, montre la nécefîité de chercher dans les 

 propriétés du cercle les vrais fondemens du fyftème, 

 qu'on ne peut trouver, ni dans la ligne droite, ni 

 dans les feuls nombres abftraits. Cette théorie éta- 

 blie , il s'agit maintenant d'en déduire les faits don- 

 nés &c les règles de l'art harmonique. 



L'octave , qui n'engendre aucun fon fondamen- 

 tal, n'étant point effentielle à l'harmonie, peut être 

 retranchée des parties conftitutives de l'accord; I 

 ainfi l'accord réduit à fa plus grande fimplicité, doit 

 être confidéré fans elle. Alors il eft compofé feule- 

 ment de ces trois termes i } \ , lefquels font en pro- 

 portion harmonique, & où les deux monades f ~ font 

 les feuls vrais élémens de l'unité fonore , qui porte 

 le nom d'accord parfait ; car la fraction A efl élément 

 de l'octave -, & la fraction \ eft octave de la mo- 

 nade j. 



Cet accord parfait i produit par une feule 

 corde, oc dont les termes font en proportion har- 

 monique , efl la loi générale de la nature, qui fert 

 de bafe à toute la feience des fons ; loi que la phyfi- 

 que peut tenter d'expliquer , mais dont l'explica- 

 tion efl inutile aux règles de l'harmonie. Les calculs 

 des cordes & de poids tendans fervent à donner en 

 nombre le rapport des fons qu'on ne peut confidé- 

 rer comme des quantités qu'à la faveur de ces cal- 

 culs. Le troifieme fon, engendré par le concours de 

 deux autres, eft comme le produit de leurs quanti- 

 tés ; & quand dans une cathégorie commune, ce 

 troifieme fon fe trouve toujours le même quoiqu'en- 

 gendré par des intervalles différens , c'eft que les 

 produits des générateurs font égaux entre eux. 



Ceci fe déduit manifeftement des proportions 

 précédentes. Quel eft, par exemple, le troifieme fon 

 qui réfulte de C B & de G B ? {fig. 9. ) C'eft l'unif- 

 fon de C B. Pourquoi ? Parce que dans les deux pro- 

 portions harmoniques , dont les quarrés des deux 

 ordonnées C, CC, & G, GG, font moyens pro- 

 portionnels, les fommes des extrêmes font égales 

 entre elles, &C par conféquent produifent le même 

 fon commun CB, ou C, CC. En effet, la fomme 

 des deux rectangles de B C par C , C C, & de A C 

 par C , C C efl égale a la fomme des deux rectangles 

 de B G par C , C C , & de G A par C , C C : car cha- 

 cune de ces deux fommes efl égale à deux fois le 

 quarré du rayon. D'où il fuit que le fon C , C C ou 

 C B , doit être commun aux deux cordes : or ce fon 

 efl précifément la note Q de l'exemple O. Quelques 

 ordonnées que vous puiffiez prendre dans le cercle 

 pour les comparer deux à deux , ou même trois à 

 trois , elles engendreront toujours le même troifieme 

 fon repréfenté par la note Q ; parce que les rectan- 

 gles des deux parties du diamètre par le rayon don- 

 neront toujours des fommes égales. Mais l'octave X 

 Q n'engendre que des harmoniques à l'aigu, & point 

 de fon fondamental, parce qu'on ne peut élever 

 d'ordonnée fur l'extrémité du diamètre, & que par 

 conféquent le diamètre & le rayon ne fauroient, 

 dans leur proportion harmonique , avoir aucun pro- 

 duit commun. 



Au-lieu de divifer harmoniquement le diamètre 

 par les fractions l-f-ffj, qui donne le fyftème na- 

 turel de l'accord majeur , fi on le divife arithméti- 

 quement en fix parties égales {vqyeifig. 11.) on 

 aura le fyftème de l'accord majeur renverfé , & ce 

 renverfement donne exactement l'accord mineur : 

 car une de ces parties donnera la dix- neuvième , 

 deux donneront la douzième , trois donneront l'oc- 

 tave quatre la quinte , 6c cinq la tierce mineure. 



QUE. ^ 

 Mais aufîi-tôt qu'unifiant deux de ces fons, on 

 cherchera le troifieme fon qu'ils engendrent, ces 

 deux fons fimultanés , au-lieu du fon C (fig. 1 1. ) ne 

 produiront jamais pour fondamental que le fon E 

 ce qui prouve que ni l'accord mineur, ni fon mode, 

 ne font donnés par la nature. Que fi l'on fait conlon- 

 ner deux ou plufieurs intervalles de l'accord mineur, 

 les fons fondamentaux fe multiplieront; & relative- 

 ment à ces fons , on entendra plufieurs accords ma- 

 jeurs à-la-fois fans aucun accord mineur. Voye^ ci- 

 devant, Pl. XI. fig. 6. &C ce qui en efl dit. 



PLANCHE XIII. 



La fig. U repréfenté l'échelle diatonique commu- 

 ne , comparée à celle des aliquotes , donnée par les 

 divifions naturelles des cors, trompettes marines, 

 & autres inflrumens fembîables, félon M. Balierc 

 { Théorie de la Mujique ) ; par la comparaifon de ces 

 deux échelles on voit en même tems la caufe des 

 tons faux donnés par ces inûy-umens. Cependant 

 l'échelle commune, pour n'être pas d'accord avec 

 la férié des aliquotes, n'en a pas moins une origine 

 phyfique & naturelle, qu'il faut développer. 



La portion de la première férié O (fig. 9. Pl. XII.) 

 qui détermine le fyftème harmonique , eft la fefqui- 

 altere ou quinte CG, c'eftà-diï-e l'octave harmo- 

 niquement divifée. Or les deux termes, qui corref- 

 pondent à ceux-là dans la férié P des Complémens 

 {fig. 10. Pl. XII. ) font les notes G F. Ces deux cor- 

 des font moyennes , l'une harmonique & l'autre ari- 

 thmétique entre la corde entière & fa moitié, ou 

 entre le diamètre &C le rayon ; & ces deux moyen- 

 nes G & F fe rapportant toutes deux à la même fon- 

 damentale, déterminent le ton & même le mode, 

 puifque la proportion harmonique y domine , ÔC 

 qu'elles paroiftent avant la génération du mode mi- 

 neur : n'ayant donc d'autre loi que celle qui efl 

 déterminée par la férié harmonique dont elles déri- 

 vent , elles doivent en porter l'une &c l'autre le ca- 

 ractère ; favoir l'accord parfait majeur, compofé de 

 tierce majeur & de quinte. 



La fig 2. repréfenté la même échelle diatonique , 

 le nom des intervalles compris entre les fons qui 

 la compofent , & le rapport de ces mêmes fons ex- 

 primés conformément à ceux des trois accords par- 

 faits de la fig. 7. Pl. XI. On voit en cette figure que 

 tous les intervalles font juftes , excepté l'accord par- 

 fait D F A , dans lequel la quinte D A eft foible d'un 

 comma, de même que la tierce mineure D F , à caufe 

 du ton mineur D E ; mais dans tout fyftème ce défaut 

 ou l'équivalent efl inévitable. L'échelle une fois 

 établie , le principal ufage des trois notes C , G , F , 

 {fig. 7. Pl. XI.) dont elle efl tirée, efl la formation 

 des cadences , qui donnant un progrès de notes fon- 

 damentales de l'une à l'autre , font la baffe de toute 

 la modulation. G étant moyen harmonique , & F 

 moyen arithmétique entre les deux termes de l'oc- 

 tave , le paflage du moyen à l'extrême forme une 

 cadence qui t'ire fon nom du moyen qui la produit. 

 G C efl donc une cadence harmonique , FC une ca- 

 dence arithmétique, & l'on appelle cadence mixte celle 

 qui , du moyen arithmétique paffant au moyen har- 

 monique , fe compofé des deux avant de fe réfoudre 

 fur l'extrême. (Voyez fig. 3.) 



De ces trois cadences , ^harmonique efl la princi- 

 pale & la première en ordre : fon effet efl d'une har- 

 monie mâle, forte, &c terminant un fens abfolu, 

 U arithmétique efl foible , douce , & laiffe encore 

 quelque chofe à défirer. La cadence mixte fufpend 

 le fens & produit à-peu-près l'effet du point inter- 

 rogatif & admiratif. Dans la fucceffion naturelle de 

 ces trois cadences , telle qu'on la voit en cette Plan- 

 che fig. 5, réfulte exactement la baffe fondamentale 



