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loro primi membri cambiano semplicemente di segno scambiando fra loro due 

 degli indici i ,k , g . 



2. Se le rotazioni yuk sono costanti, le (B) non contengono le funzioni 

 incognite e rappresentano quindi delle condizioni necessarie percbè esistano 

 delle V n , in cui si possa tracciare una ennupla di congruenze ortogonali, 

 per le quali le rotazioni abbiano valori costanti dati. 



Applicando un noto teorema del sig. Riquier (') si può dimostrare che 

 le dette condizioni sono anche sufficienti; poiché, nel caso delle rotazioni 

 costanti, l'essere soddisfatte le condizioni (B) importa che il sistema (Aj) 

 è passivo ; e si dimostra poi facilmente che esso è anche ortonomo. Perciò 

 basta attribuire a ciascuna variabile una sola quota, la quale per le varia- 

 bili indipendenti deve assumersi eguale ad 1 e per le funzioni X h j P si assu- 

 merà eguale a p. Imaginando risoluta ogni equazione (A,) rispetto a ^ h,r 



~ÒX S 



nella ipotesi che sia s Z> r , mentre la quota del primo membro risulta eguale 

 ad s -j- 1, nel secondo membro incontriamo soltanto le quote r , s ed r -f- 1 

 tutte minori di s -f- 1. 



3. Se in una V„ definita intrinsecamente mediante una forma fonda- 

 mentale <p si considera una ennupla ortogonale di congruenze di sistemi 

 coordinati covarianti X h/r , i sistemi covarianti delle congruenze di ogni altra 

 ennupla ortogonale si ottengono ponendo 



fth/r — ^k Chk ^h/r j 



con Chk rappresentando i coefficienti della sostituzione generale ortogonale 

 di ordine n. 



Come risulta dalle (2), per queste posizioni gli invarianti Yhi,nj definiti 

 dalle (1) vengono sostituiti da altri, legati ad essi dalle relazioni 



Yhi,kj— V C hh ' Ckk' Cut Cjf Yh'i' ,k'j' • 

 h'i'k'j' 



Posto poi 



Vh'w — y 7hH',k'i' , Y' h k=y_y'hi,ki , 



i' x 



dalle precedenti seguono le 



Yh\ = ^h'V Yh'h' Chh' CkV • 



E se si ricorda ( 2 ) che per ogni Y n le congruenze principali sono caratte- 

 rizzate dalle condizioni 



Yhk = V (per h 4= A), 



(') Les systèmes cVéquations aux dérivées partielles. Paris, Gauthier-Villars, 1910, 

 paragrafo 115. 



( 3 ) Cfr. Eicci, Direzioni ed invarianti principali in una varietà qualunque. Atti 

 del E. Istituto Veneto di Scienze Lettere ed Arti, tomo LXI1I, parte 2 a . 



