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Matematica. — Della convergenza uniforme ordinaria. Nota 

 del prof. Carlo Alberto Dell' Agnola, presentata dal Corrispon- 

 dente Ricci. 



La presente Nota ha per oggetto di stabilire una condizione necessaria 

 e sufficiente affinchè una successione di funzioni continue convergente in un 

 intervallo {a , b) sia, in un punto a? di (a , b), uniformemente convergente, 

 e dimostrare la seguente proprietà : « I punti singolari rispetto alla conver- 

 genza uniforme ordinaria costituiscono un insieme di prima categoria » . 



1. Sia 



(1) A(a>) , f t {x) , ... , f n (x) , ... 



una successione di funzioni reali della variabile reale x. convergente nel- 

 l' intervallo (a , b) : f(x) la funzione limite. 



Def. ne — Si dirà che nel punto x di {a , b) la successione presenta il 

 carattere della convergenza uniforme ordinaria, o, più brevemente, che la 

 successione converge uniformemente nel punto x allorquando, assegnato ad 

 arbitrio il numero reale e positivo <r, esiste un intorno (x — e , x -\- e) del 

 punto x nei punti £ del quale si ha 



IAO-rt*)|<* 



da un certo valore dell'indice n in poi. I punti di (a , b) che non presen- 

 tano questo carattere si diranno singolari rispetto alla convergenza uni- 

 forme ordinaria. 



Si dimostra facilmente il 



Teorema 1°. — * Se una successione 



fi(x) , fì{x) , ... , f n (x) , ... 



« di funzioni reali della variabile reale x è uniformemente convergente in 

 « ogni punto x dell'intervallo (a,b), essa converge uniformemente in (a,b) ». 



Fissato un ff reale e positivo, il minimo valore di n a partire dal quale 

 è verificata la disuguaglianza 



\f n (x)- f(x)\<<r< 

 è funzione completamente determinata di x . Esiste, per ipotesi, un intorno 



