— 106 — 



del punto x in cui essa assume un valore massimo e perciò essa gode della 

 stessa proprietà nell'intervallo (a,b) (')• 



Se le funzioni (1) sono continue e la successione converge uniforme- 

 mente nel punto x , possiamo asserire che la funzione limite f(x) è continua 

 in questo punto ( 2 ). Ciò posto, dimostreremo il 



Teorema 2°. — « Affinchè una successione 



f Y (x) , ft{x) , , fn(x) , ... 



iì di funzioni continue convergente nell' intervallo (a , b) , sia nel punto x 

 « di {a , b) uniformemente convergente, è necessario e basta che nel punto 

 « stesso si abbia Sì(x) — 0 » ( 3 ). 



Sia la successione uniformemente convergente nel punto x . Assegnato e, 

 esiste in questa ipotesi un intorno (x — ^ , x -\- s-f) di x nei punti £ del 

 quale si ha 



(2) \m-m)\<\ 



da un certo valore m dell'indice n in poi. 



Per la continuità di f(x) nel punto x esiste un intorno (x — s 2 , # + 

 in ogni punto f del quale 



(3) \m-fw\<i' 



Indicando con s il minore dei due numeri fi ed e 2) nell'intorno (x — s,x-\-s) 

 valgono ad un tempo le (2) e (3) e quindi la 



IAGO- /(*)!<§. 



che si può scrivere anche così 



(') C. A. Dell'Agitola. Sopra alcune proposizioni fondamentali dell'Analisi. Rendi- 

 conti del E, Istituto Lombardo di Scienze e Lettere, serie II, voi. XL, 1907, pag. 369; 

 pp. 372-373. 



( 3 ) C. Arzelà, Sulle serie di funzioni. Memorie della R. Accademia delle Scienze 

 di Bologna, parte prima, 1899, pp. 14-17. 



( 3 ) La funzione £l(x) è definita nella mia Nota: Sulle funzioni egualmente continue. 

 Atti del R. Istituto Veneto di Scienze, Lettere ed Arti, 1910 (in corso di stampa). Fra 

 le proprietà di questa funzione ricordo qui le seguenti ; « L'annullarsi di Q{x) nel punto x 

 è condizione necessaria e sufficiente affinchè le funzioni f n {x) , (n = 1 , 2 , ... oo). siano 

 in questo punto egualmente continue. L'annullarsi identicamente di Sl{x) nell'intervallo 

 (a , b), è condizione necessaria e sufficiente per l'eguale continuità della successione in 

 (a ,b) ri. 



