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valevole per n~> m. Segue tosto da questa successivamente 



®n(% , f ) < e 

 J2(cc , e) <. tf 



Quest'ultima essendo valida per quanto piccolo sia o\ si può concludere 

 che S2(x) = 0 . 



Reciprocamente: si supponga Sì{x) = 0 nel punto # di (a,b). 

 Fissato arbitrariamente il numero reale e positivo o, si ha per la con- 

 vergenza della successione 



( 4 ) \fÀ*)-.nx)\<i 



da un certo valore m dell' indice n in poi. 

 Poiché Sì{x) = 0 , le funzioni 



fi(x) , f t (x) , ... , f„(x) , ... 



sono egualmente continue nel punto x e quindi esiste un intorno c x del 

 punto x nei punti £ del quale 



(5) I /«(*) — /»(£)! <f< («=1,2,3, oo). 



Infine avendosi lim j f n (x) — ( = /(ce) — /(£) , assieme alla (5) sus- 

 siste la 



\ m -f(x)\< G -. 

 Da questa e dalle (4) e (5) segue 



IAGO -/®|<> 



valevole in ogni punto f di c-c e per w >.m. 

 Dai teoremi precedenti scende il 



Corollario 1°. — «Affinchè una successione di funzioni continue 



f t (x) , ft{x) , ... , f n {x) , ... 



« convergente nell'intervallo (a , b) converga ivi uniformemente, è necessario 

 « e basta che si abbia identicamente in (a , b) Sì(x) = 0 » (*). 

 Sempre nelle stesse ipotesi si ha dal teorema 2° il 



Corollario 2°. — * Se x è un punto singolare rispetto alla con- 

 « vergenza uniforme ordinaria si ha Sì(x) > 0 . E reciprocamente » . 

 ( l ) Cfr. Arzelà, loc. cit., pp. 43 e seg. 



